cviko10 final

cv10_2022-11-23.md

@@ -11,121 +11,100 @@ Motivace: na jednom z minulých cvičení jsme hledali rovnici tečné přímky
 
 Taylorův polynom $n$-tého řádu $T_n$ funkce $f$ v bodě $x_0$:
 
-$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x_0) \frac{(x-x_0)^k}{k!}$
+$T_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x_0) \frac{(x-x_0)^k}{k!}$
 
-$T_n(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) + f''(x)*(x-x_0)^2/2 + f'''(x)*(x-x_0)^3/6 + ...$
+$T_n(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) + f^{\prime\prime}(x) \frac{(x-x_0)^2}{2} + f^{\prime\prime\prime}(x) \frac{(x-x_0)^3}{6} + \dots$
 
-Taky
+Taky možnost:
 
-$T_n(x_0+h) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x_0) \frac{h^k}{k!}$
+$T_n(x_0+h) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x_0) \frac{h^k}{k!}$
 
-Pokud $x_0 = 0$, říká se tomu Maclaurinův polynom
+Pokud $x_0 = 0$, říká se tomu taky Maclaurinův polynom
 
 ### Příklady: k funkci $f$ najděte taylorův polynom $n$-tého řádu v bodě $x_0$
-- $f(x)=2x^3-3x^2+5x-7, \quad x_0=1, n=3$
+- $f(x)=2x^3-3x^2+5x-7, \quad x_0=1, n=2$
+    - $T_2(x) = -3 + 5(x-1) + 3(x-1)^2$
 - $f(x)=e^x, \quad x_0=0, n=3$
-    - Kdyby se to počítalo donekonečna tak dostaneme přesně funkci e^x
+    - $T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$
 - $f(x)=\sin(x), \quad x_0=0, n=5$
-    - Kdyby se to počítalo donekonečna tak dostaneme přesně funkci $\sin(x)$
-- $f(x)=\ln(x), \quad x_0=1, n=2$
-    - Ani kdyby se to počítalo donekonečna tak funkce $\ln(x)$ nedostaneme. Pro $x \ge 2$ to prostě nefunguje
-- $f(x)=\mathrm{arctg}(x), \quad x_0=0, n=2$
+    - $T_5(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}$
+- $f(x)=\ln(x), \quad x_0=1, n=3$
+    - $T_3(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}$
+- $f(x)=\mathrm{arctg}(x), \quad x_0=0, n=3$
+    - $T_3(x) = x - \frac{x^3}{3}$
 - $f(x)=xe^{-x}, \quad x_0=0, n=3$
+    - $T_3(x) = x - x^2 + \frac{x^3}{2}$
 
 - Zapište polynom $2x^3 - 4x^2 - x - 7$ pomocí mocnin výrazu $(x-2)$
+    - $-9(x-2)^0 + 7(x-2) + 8(x-2)^2 + 2(x-2)^3$
 
 - Odhadněte s pomocí taylorova polynomu třetího řádu hodnotu $\ln(1.1)$
+    - $\ln(1.1) \approx (1.1-1) - \frac{(1.1-1)^2}{2} + \frac{(1.1-1)^3}{3} = 0.1 - 0.005 + 0.000333 = 0.095333$
+    - $\ln(1.1) = 0.0953101798\dots$
 
 
 
 
 
+Neurčitý integrál
+-----------------
 
+Definice (primitivní funkce, neurčitý integrál)
+> $F$ je primitivní funkcí k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I \subset \mathbb{R}$  
+> $\quad \iff$  
+> $\forall x \in I : F^\prime(x) = f(x)$  
+> Značíme také $F(x) = \int f(x) \  \mathrm{d}x$ a mluvíme o neurčitém integrálu funkce $f$
 
-
-
-
-
-
-
-neurčitý integrál
-
-F je primitivní funkcí k funkci f na (a,b)
-    <=>
-\forall x \in (a,b) : F'(x) = f(x)
-
-není jenom jedna - k F můžu přičíst konstantu a pořád to platí
-
-neurčitý integrál - jedna z primitivních funkcí
-F(x) = \int f(x) dx
+není jenom jedna - k $F$ můžu přičíst konstantu a pořád je to primitivní funkce
 
 jakoby opak derivace
 
-neurčitý integrál základních funkcí:
-    \int 1 dx = x
-    \int x^n dx = (x^(n+1))/(n+1)
-    \int 1/x dx = ln|x|
-    \int sin(x) dx = -cos(x)
-    \int cos(x) dx = sin(x)
-    \int 1/cos^2(x) = tg(x)
-    \int 1/sin^2(x) = -cotg(x)
-    \int 1/(1+x^2) dx = arctg(x) = -arccotg(x)
-    \int 1/sqrt(1-x^2) dx = arcsin(x) = -arccos(x)
-    \int e^x dx = e^x
+Vzorce pro integrování základních funkcí:
+-  $\int 1                       \  \mathrm{d}x = x$
+-  $\int x^n                     \  \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
+-  $\int \frac{1}{x}             \  \mathrm{d}x = \ln|x|$
+-  $\int \sin(x)                 \  \mathrm{d}x = -\cos(x)$
+-  $\int \cos(x)                 \  \mathrm{d}x = \sin(x)$
+-  $\int \frac{1}{\cos^2(x)}     \  \mathrm{d}x = \mathrm{tg}(x)$
+-  $\int \frac{1}{\sin^2(x)}     \  \mathrm{d}x = -\mathrm{cotg}(x)$
+-  $\int \frac{1}{1+x^2}         \  \mathrm{d}x = \mathrm{arctg}(x) = -\mathrm{arccotg}(x)$
+-  $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \  \mathrm{d}x = \arcsin(x) = -\arccos(x)$
+-  $\int e^x                     \  \mathrm{d}x = e^x$
 
 někdo píše +c, ale tady to nepíšeme
 
-integrál je lineární:
-    \int a*f(x) dx = a * \int f(x) dx
-    \int f(x) +- g(x) dx = \int f(x) dx +- \int g(x) dx
-
-příklady
-    viz sešit tabulkové integrály
-
-
-
-
-
-věta: integrace per partes
-I \subset R otevřený interval
-funkce u,v mají v I spojité první derivace
-    =>
-\int uv'   =  uv - \int u'v
-
-dá se odvodit ze vzorce pro derivaci součinu
-(uv)' = u'v + uv'   / int
-uv = \int u'v  +  \int uv'
-
-příklady
-    viz sešit
-
-
-
-
-
-věta: první substituční metoda
-g má v intervalu (a,b) konečnou derivaci
-\forall x \in (a,b) : g(x) \in (\alpha,\beta)
-f je spojitá v (\alpha,\beta)
-F je primitivní funkce k funkci f
-    =>
-v (a,b) platí
-\int f(g(x)) g'(x) dx   =   F(g(x))
-
-t = g(x)
-dt = g'(x) dx
-
-jakoby zase opak k derivaci složené funkce
-(F(g(x)))' = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) g'(x)
-F(g(x))   =   \int f(g(x)) g'(x)
-
-příklady
-    \int cotg(x) dx
-    viz sešit
-
-
-
-
-
-
-
+Vlastnosti: integrál je lineární
+- $\int a f(x) \  \mathrm{d}x = a \int f(x) \  \mathrm{d}x$
+- $\int f(x) \pm g(x) \  \mathrm{d}x = \int f(x) \  \mathrm{d}x \pm \int g(x) \  \mathrm{d}x$
+
+### Příklady: 
+- $\int x^{12} \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{x^{13}}{13}$
+- $\int 5x^3 + 4x + 3 \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{5}{4}x^4 + 2x^2 + 3x$
+- $\int \sqrt{x} \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{2}{3} \sqrt{x^3}$
+- $\int \frac{1}{\sqrt{x^5}} \  \mathrm{d}x$
+    - $-\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{x^3}}$
+- $\int (x^2+2)^2 \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{x^5}{5} + \frac{4x^3}{3} + 4x$
+- $\int \frac{(x^2+1)^3}{x^2} \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{x^5}{5} + x^3 + 3x - \frac{1}{x}$
+- $\int (1-\frac{1}{x})^2 \sqrt{x\sqrt{x}} \  \mathrm{d}x$
+    - $\frac{4}{7}x^{\frac{4}{7}} + \frac{8}{3}x^{\frac{3}{4}} - 4x^{-\frac{1}{4}}$
+- $\int \frac{\sqrt{x^4 + x^{-4} + 2}}{x^3} \  \mathrm{d}x$
+    - $\ln|x| - \frac{4}{x^4}$
+- $\int \sin(x) + \cos(x) \  \mathrm{d}x$
+    - $-\cos(x) + \sin(x)$
+- $\int 2x + \frac{\sin(x)}{2} - \frac{3}{\sin^2(x)} \  \mathrm{d}x$
+    - $x^2 - \frac{\cos(x)}{2} + 3\mathrm{cotg}(x)$
+- $\int \mathrm{tg}^2(x) \  \mathrm{d}x$
+    - $\mathrm{tg}(x) - x$
+- $\int \frac{2}{2+2x^2} \  \mathrm{d}x$
+    - $\mathrm{arctg}(x)$
+- $\int \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} \  \mathrm{d}x$
+    - $7\ln|x| - \frac{3}{x}$
+- $\int \frac{3}{\sqrt{9-9x^2}} \  \mathrm{d}x$
+    - $\arcsin(x)$
+- $\int 5+6e^x \  \mathrm{d}x$
+    - $5x + 6e^x$