Skip to content

Files

Latest commit

e7edf26 · Nov 26, 2022

History

History
110 lines (84 loc) · 4.66 KB

cv10_2022-11-23.md

File metadata and controls

110 lines (84 loc) · 4.66 KB

10. cvičení, 23. 11. 2022

Taylorovy polynomy

Motivace: na jednom z minulých cvičení jsme hledali rovnici tečné přímky k funkci f v bodě x 0 . Tou se dá ta funkce v okolí bodu x 0 aproximovat. Ale co kdybychom chtěli přesnější aproximaci? Můžeme udělat tečnou parabolu, nebo tečnou kubickou funkci (s x 3 ), atd., obecně nějaký tečný polynom. Takovému polynomu (řádu n ), který tu funkci na okolí x 0 aproximuje nejlíp, se říká Taylorův polynom n -tého řádu. Potřebujeme ale zjistit hodnoty koeficientů toho polynomu. K tomu mám opět pomůžou derivace.

Taylorův polynom n -tého řádu T n funkce f v bodě x 0 :

T n ( x ) = k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) ( x x 0 ) k k !

T n ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x ) ( x x 0 ) 2 2 + f ( x ) ( x x 0 ) 3 6 +

Taky možnost:

T n ( x 0 + h ) = k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) h k k !

Pokud x 0 = 0 , říká se tomu taky Maclaurinův polynom

Příklady: k funkci f najděte taylorův polynom n -tého řádu v bodě x 0

  • f ( x ) = 2 x 3 3 x 2 + 5 x 7 , x 0 = 1 , n = 2

    • T 2 ( x ) = 3 + 5 ( x 1 ) + 3 ( x 1 ) 2
  • f ( x ) = e x , x 0 = 0 , n = 3

    • T 3 ( x ) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3
  • f ( x ) = sin ( x ) , x 0 = 0 , n = 5

    • T 5 ( x ) = x x 3 3 + x 5 5
  • f ( x ) = ln ( x ) , x 0 = 1 , n = 3

    • T 3 ( x ) = ( x 1 ) ( x 1 ) 2 2 + ( x 1 ) 3 3
  • f ( x ) = arctg ( x ) , x 0 = 0 , n = 3

    • T 3 ( x ) = x x 3 3
  • f ( x ) = x e x , x 0 = 0 , n = 3

    • T 3 ( x ) = x x 2 + x 3 2
  • Zapište polynom 2 x 3 4 x 2 x 7 pomocí mocnin výrazu ( x 2 )

    • 9 ( x 2 ) 0 + 7 ( x 2 ) + 8 ( x 2 ) 2 + 2 ( x 2 ) 3
  • Odhadněte s pomocí taylorova polynomu třetího řádu hodnotu ln ( 1.1 )

    • ln ( 1.1 ) ( 1.1 1 ) ( 1.1 1 ) 2 2 + ( 1.1 1 ) 3 3 = 0.1 0.005 + 0.000333 = 0.095333
    • ln ( 1.1 ) = 0.0953101798

Neurčitý integrál

Definice (primitivní funkce, neurčitý integrál)

F je primitivní funkcí k funkci f na otevřeném intervalu I R

x I : F ( x ) = f ( x )
Značíme také F ( x ) = f ( x )   d x a mluvíme o neurčitém integrálu funkce f

není jenom jedna - k F můžu přičíst konstantu a pořád je to primitivní funkce

jakoby opak derivace

Vzorce pro integrování základních funkcí:

  • 1   d x = x
  • x n   d x = x n + 1 n + 1
  • 1 x   d x = ln | x |
  • sin ( x )   d x = cos ( x )
  • cos ( x )   d x = sin ( x )
  • 1 cos 2 ( x )   d x = tg ( x )
  • 1 sin 2 ( x )   d x = cotg ( x )
  • 1 1 + x 2   d x = arctg ( x ) = arccotg ( x )
  • 1 1 x 2   d x = arcsin ( x ) = arccos ( x )
  • e x   d x = e x

někdo píše +c, ale tady to nepíšeme

Vlastnosti: integrál je lineární

  • a f ( x )   d x = a f ( x )   d x
  • f ( x ) ± g ( x )   d x = f ( x )   d x ± g ( x )   d x

Příklady:

  • x 12   d x
    • x 13 13
  • 5 x 3 + 4 x + 3   d x
    • 5 4 x 4 + 2 x 2 + 3 x
  • x   d x
    • 2 3 x 3
  • 1 x 5   d x
    • 2 3 1 x 3
  • ( x 2 + 2 ) 2   d x
    • x 5 5 + 4 x 3 3 + 4 x
  • ( x 2 + 1 ) 3 x 2   d x
    • x 5 5 + x 3 + 3 x 1 x
  • ( 1 1 x ) 2 x x   d x
    • 4 7 x 4 7 + 8 3 x 3 4 4 x 1 4
  • x 4 + x 4 + 2 x 3   d x
    • ln | x | 4 x 4
  • sin ( x ) + cos ( x )   d x
    • cos ( x ) + sin ( x )
  • 2 x + sin ( x ) 2 3 sin 2 ( x )   d x
    • x 2 cos ( x ) 2 + 3 cotg ( x )
  • tg 2 ( x )   d x
    • tg ( x ) x
  • 2 2 + 2 x 2   d x
    • arctg ( x )
  • 7 x + 3 x 2   d x
    • 7 ln | x | 3 x
  • 3 9 9 x 2   d x
    • arcsin ( x )
  • 5 + 6 e x   d x
    • 5 x + 6 e x