Some minor corrections and improvements

content/russian/cs/factorization/eratosthenes.md

@@ -10,7 +10,7 @@ published: true
 
 **Решето Эратосфена** (англ. *sieve of Eratosthenes*) — алгоритм нахождения всех простых чисел от $1$ до $n$.
 
-Основная идея соответствует названию алгоритма: запишем ряд чисел $1, 2,\ldots, n$, а затем будем вычеркивать
+Основная идея соответствует названию алгоритма: запишем ряд чисел $1, 2,\ldots, n$, а затем будем вычёркивать:
 
 - сначала числа, делящиеся на $2$, кроме самого числа $2$,
 - потом числа, делящиеся на $3$, кроме самого числа $3$,
@@ -24,7 +24,8 @@ published: true
 ```c++
 vector<bool> sieve(int n) {
     vector<bool> is_prime(n + 1, true);
-    for (int i = 2; i <= n; i++)
+    is_prime[0] = false, is_prime[1] = false;
+    for (int i = 2; i <= n; ++i)
         if (is_prime[i])
             for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)
                 is_prime[j] = false;
@@ -44,14 +45,14 @@ $$
 \sum_k \frac{n}{k} = \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \frac{n}{4} + \ldots + \frac{n}{n} = O(n \log n)
 $$
 
-Здесь мы воспользовались асимптотикой [гармонического ряда](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4).
+Здесь мы воспользовались асимптотикой [гармонического ряда](https://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд).
 
 У исходного алгоритма асимптотика должна быть ещё лучше. Чтобы найти её точнее, нам понадобятся два факта про простые числа:
 
-1. Простых чисел от $1$ до $n$ примерно $\frac{n}{\ln n}$ .
-2. Простые числа распределены без больших «разрывов» и «скоплений», то есть $k$-тое простое число примерно равно $k \ln k$.
+1. простых чисел от $1$ до $n$ примерно $\frac{n}{\ln n}$;
+2. простые числа распределены без больших «разрывов» и «скоплений», то есть $k$-ое простое число примерно равно $k \ln k$.
 
-Мы можем упрощённо считать, что число $k$ является простым с «вероятностью» $\frac{1}{\ln n}$. Тогда, время работы алгоритма можно более точнее оценить как
+Можно упрощённо считать, что число $n$ является простым с «вероятностью» $\frac{1}{\ln n}$. Тогда время работы алгоритма можно более точно оценить как
 
 $$
 \sum_k \frac{1}{\ln k} \frac{n}{k}
@@ -66,13 +67,13 @@ $$
 
 Основная проблема решета Эратосфена состоит в том, что некоторые числа мы будем помечать как составные несколько раз — столько, сколько у них различных простых делителей. Чтобы достичь линейного времени работы, нам нужно придумать способ, как рассматривать все составные числа ровно один раз.
 
-Обозначим за $d(k)$ минимальный простой делитель числа $k$ и заметим следующий факт: у составного числа $k$ есть единственное представление $k = d(k) \cdot r$, и при этом у числа $r$ нет простых делителей меньше $d(k)$.
+Обозначим за $d(k)$ минимальный простой делитель числа $k$ и заметим следующий факт: любое составное число $k$ можно представить в виде $k = d(k) \cdot r$, причём у числа $r$ все простые нет делители не меньше $d(k)$.
 
-Идея оптимизации состоит в том, чтобы перебирать этот $r$, и для каждого перебирать только нужные множители — а именно, все от $2$ до $d(r)$ включительно.
+Идея оптимизации состоит в том, чтобы перебирать это $r$, и для каждого перебирать только нужные множители — а именно, все от $2$ до $d(r)$ включительно.
 
 ### Алгоритм
 
-Немного обобщим задачу — теперь мы хотим посчитать для каждого числа $k$ на отрезке $[2, n]$ его минимальный простой делитель $d_k$, а не только определить его простоту.
+Немного обобщим задачу: теперь мы хотим для каждого числа $k$ на отрезке $[2, n]$ не только определить, простое ли оно, но и найти его наименьший простой делитель $d(k)$.
 
 Изначально массив $d$ заполним нулями, что означает, что все числа предполагаются простыми. В ходе работы алгоритма этот массив будет постепенно заполняться. Помимо этого, будем поддерживать список $p$ всех найденных на текущий момент простых чисел.