22-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

계단 수

✔️ 소요된 시간

3~4시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

---

❗ 풀이

당최 어떻게 접근해야할지 갈피가 잡히지 않았다..

1️⃣ 첫번째 풀이

계단수는 항상 각 자리수가 1 차이가 나야한다. 현재 수가 345 라고 하면 앞에 2 혹은 4를 붙인 2345, 4345 와 뒤에 4 혹은 6을 붙인 3454, 3456 가 올 수 있다. 이 점에 착안해 현재 수열의 길이 i, 수열의 시작 수 j, 수열의 끝 수 k 를 저장하는 DP 배열로 해결하려 했다.

현재 수열이 j로 시작해 k로 끝나는 i 길이의 수열이라면 시작 수가 j - 1 혹은 j + 1 이면서 k로 끝나는 i + 1 길이의 수열과 시작 수가 j 이면서 k - 1 혹은 k + 1로 끝나는 i + 1 길이의 수열을 만들 수 있다.

이 방법을 제출해보진 않았지만 당장 풀다가 겹치는 수를 해결할 수 없다는 결론에 도달했다.

수열 2345와 수열 1234가 있을 때, 두 수열 모두 12345 라는 수열을 만들 수 있기 때문이다. 따라서 수열을 증가하는 방향을 한 방향으로 제한할 필요가 있다고 생각했다.

2️⃣ 두번째 풀이

진짜 도저히 1도 모르겠어서 블로그 풀이를 참고했다. (링크)

정답 풀이는 비트마스킹을 이용한다. 현재 수열이 어떤 수들을 거쳐왔는지를 비트마스킹을 통해 표현할 수 있다. 0 ~ 9까지의 숫자가 1개 이상 존재하면 되기 때문에 굳이 개수를 표현할 필요도 없다.

1로 시작해 2로 끝나는 4의 길이의 수열의 경우 1212, 1232 가 있다. 이 둘의 경우 거쳐온 숫자는 각각 [1, 2], [1, 2, 3] 이 된다. 이 숫자를 0~9까지 총 10bit로 표현해 따로 다룰 수 있다.

예를 들어 [0, 1, 2, 3, 4] 를 거친 경우 0,000,011,111 로 표현할 수 있다. 모든 수를 다 거친 경우 (즉 1,111,111,111) 가 1023이기 때문에 0~1023 까지를 저장하면 된다.

첫번째 풀이에서 봤듯 수열이 증가하는 방향은 단방향이 된다. 수열 뒤에 숫자를 덧붙이는 방식으로 수열을 늘려가는 경우 굳이 수열의 시작점을 저장할 필요가 없다. 즉 dp 배열을 수열의 길이 i, 현재 수열의 끝자리 수 j, 지금까지 거쳐온 숫자 k를 저장하는 배열로 해결할 수 있다.

현재 수열의 길이가 a, 끝자리 수가 b인 수열이 될 수 있는 경우의 수는 수열의 길이가 a - 1, 끝자리 수가 b - 1 (b > 0), b + 1 (b < 9) 의 합이 될 것이다. dp 배열 상에서 왼쪽 위 값과 왼쪽 아래 값의 합이 된다.

여기서 지금까지 거쳐온 경우의 수가 0~1024 까지 있기 때문에 모두 더해준다.

최종 값은 길이가 n이면서 0~9까지의 숫자가 있는 수열이기 때문에 arr[n][0 ~ 9][1024] 의 값을 모두 합한 값이 정답이 된다.

#include <iostream>

#define MOD 1000000000

using namespace std;

int arr[101][10][1024] = {0, };

int main() {
    int n; cin >> n;

    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        arr[1][i][1 << i] = 1;
    }

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            for (int k = 0; k < 1024; k++) {
                if (j) {
                    arr[i][j][k | (1 << j)] += arr[i - 1][j - 1][k];
                    arr[i][j][k | (1 << j)] %= MOD;
                } 

                if (j != 9) {
                    arr[i][j][k | (1 << j)] += arr[i - 1][j + 1][k];
                    arr[i][j][k | (1 << j)] %= MOD;
                }
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        ans += arr[n][i][1023];
        ans %= MOD;
    }

    printf("%d\n", ans);
}

📚 새롭게 알게된 내용

문제 이해가 너무 어려웠어요.. 여러분은 문제 이해가 힘들 때 어떻게 해결하나요?

[InSange]

딱 봐도 비트마스킹 문제로 바로 파악할 수 있었지만 그 순서는 어떻게 확인해야 감이 잘 안잡히긴 하더군요.. 예를 들어 13자리의 경우 중간에 1012345678987 -> 6767, 8989 등과 같이 경우의 수의 존재가 너무 커지기 때문에 이전의 자리를 체크한다곤 해도 범주가 너무 커서 머리로 이해가 잘 안되는 것 같습니다..
저도 해당 블로그의 글을 읽었는데 자리수, 마지막 도착 수, 방문 확인 이라는 것을 눈으로 보아도 머리로는 아직 로직을 이해하지 못하겠습니다... 세상에는 똑똑한 사람들이 너무 많아.

[InSange]

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❗ 풀이

당최 어떻게 접근해야할지 갈피가 잡히지 않았다..

1️⃣ 첫번째 풀이

계단수는 항상 각 자리수가 1 차이가 나야한다. 현재 수가 345 라고 하면 앞에 2 혹은 4를 붙인 2345, 4345 와 뒤에 4 혹은 6을 붙인 3454, 3456 가 올 수 있다. 이 점에 착안해 현재 수열의 길이 i, 수열의 시작 수 j, 수열의 끝 수 k 를 저장하는 DP 배열로 해결하려 했다.

현재 수열이 j로 시작해 k로 끝나는 i 길이의 수열이라면 시작 수가 j - 1 혹은 j + 1 이면서 k로 끝나는 i + 1 길이의 수열과 시작 수가 j 이면서 k - 1 혹은 k + 1로 끝나는 i + 1 길이의 수열을 만들 수 있다.

이 방법을 제출해보진 않았지만 당장 풀다가 겹치는 수를 해결할 수 없다는 결론에 도달했다.
수열 2345와 수열 1234가 있을 때, 두 수열 모두 12345 라는 수열을 만들 수 있기 때문이다. 따라서 수열을 증가하는 방향을 한 방향으로 제한할 필요가 있다고 생각했다.

2️⃣ 두번째 풀이

진짜 도저히 1도 모르겠어서 블로그 풀이를 참고했다. (링크)

정답 풀이는 비트마스킹을 이용한다. 현재 수열이 어떤 수들을 거쳐왔는지를 비트마스킹을 통해 표현할 수 있다. 0 ~ 9까지의 숫자가 1개 이상 존재하면 되기 때문에 굳이 개수를 표현할 필요도 없다.

1로 시작해 2로 끝나는 4의 길이의 수열의 경우 1212, 1232 가 있다. 이 둘의 경우 거쳐온 숫자는 각각 [1, 2], [1, 2, 3] 이 된다. 이 숫자를 0~9까지 총 10bit로 표현해 따로 다룰 수 있다.

예를 들어 [0, 1, 2, 3, 4] 를 거친 경우 0,000,011,111 로 표현할 수 있다. 모든 수를 다 거친 경우 (즉 1,111,111,111) 가 1023이기 때문에 0~1023 까지를 저장하면 된다.

첫번째 풀이에서 봤듯 수열이 증가하는 방향은 단방향이 된다. 수열 뒤에 숫자를 덧붙이는 방식으로 수열을 늘려가는 경우 굳이 수열의 시작점을 저장할 필요가 없다. 즉 dp 배열을 수열의 길이 i, 현재 수열의 끝자리 수 j, 지금까지 거쳐온 숫자 k를 저장하는 배열로 해결할 수 있다.

현재 수열의 길이가 a, 끝자리 수가 b인 수열이 될 수 있는 경우의 수는 수열의 길이가 a - 1, 끝자리 수가 b - 1 (b > 0), b + 1 (b < 9) 의 합이 될 것이다. dp 배열 상에서 왼쪽 위 값과 왼쪽 아래 값의 합이 된다.

여기서 지금까지 거쳐온 경우의 수가 0~1024 까지 있기 때문에 모두 더해준다.

최종 값은 길이가 n이면서 0~9까지의 숫자가 있는 수열이기 때문에 arr[n][0 ~ 9][1024] 의 값을 모두 합한 값이 정답이 된다.

#include <iostream>

#define MOD 1000000000

using namespace std;

int arr[101][10][1024] = {0, };

int main() {
    int n; cin >> n;

    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        arr[1][i][1 << i] = 1;
    }

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            for (int k = 0; k < 1024; k++) {
                if (j) {
                    arr[i][j][k | (1 << j)] += arr[i - 1][j - 1][k];
                    arr[i][j][k | (1 << j)] %= MOD;
                } 

                if (j != 9) {
                    arr[i][j][k | (1 << j)] += arr[i - 1][j + 1][k];
                    arr[i][j][k | (1 << j)] %= MOD;
                }
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        ans += arr[n][i][1023];
        ans %= MOD;
    }

    printf("%d\n", ans);
}

📚 새롭게 알게된 내용

문제 이해가 너무 어려웠어요.. 여러분은 문제 이해가 힘들 때 어떻게 해결하나요?

저는 문제를 봤을 때 떠오르면 바로 작성하는 식이긴 합니다. 해당 방식으로 테케 돌려보고 틀리는 게 있으면 예외 처리 혹은 놓친 알고리즘을 파악하기 위해 예외 테스트케이스를 찾아보는 편입니다. 완전 어려운 문제는 하드코딩으로 빡구현을 해보다가 도저히 안되겠으면 참고하는 식이긴 합니다.

[seongwon030]

비트마스킹이라는 알고리즘을 처음 접해봐요. 이 문제에서 수를 비트로 표현해야 한다는 아이디어를 얻기부터가 어렵다고 생각되네요. 끝자리가 0인 경우와 9인 경우의 예외처리도 생각하면서 dp로 갱신하는 거라 많이 배울 수 있던 문제였네요. 저는 문제가 이해되지 않을 때 문제설명을 노트에 쓰고 계속 보는 것 같아요. 그러고 정말 모르겠다 싶으면 사이트를 참고합니다.