20-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

가장 긴 증가하는 부분 수열 5

✔️ 소요된 시간

아주 오래... 틈틈히 풀어서 체감상 2주..? 모으면 한 3~4시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

수열 A 가 주어진다. 가장 긴 증가하는 수열, 즉 LIS의 크기를 구한 뒤 LIS를 하나 출력하자!

조건

• 수열 A의 크기 N : (1 ≤ N ≤ 1,000,000)
• 수열 A를 이루고 있는 Ai : (-1,000,000,000 ≤ Ai ≤ 1,000,000,000)

---

❗ 풀이

보다시피 조건을 조금씩 바꿔서 꿀빨 수 있는 문제 라인업이다. 5번 문제는 지금까지 조건을 모두 합쳤다. 각 조건은 아래와 같다.

1. 수열의 크기가 1,000,000 이다.

• LIS 배열 탐색 시간을 O(n log n) 을 만들어야 한다. (이전 풀이 참고)

2. Ai가 음수를 포함한다.

• 배열의 값을 최저한도로 초기화 해두거나 vector를 써서 빈 배열의 경우를 처리한다.

3. Ai의 범위가 1,000,000,000 까지 늘어난다.

• 이진 탐색을 통해 탐색 시간도 O(n log n) 을 만들어야 한다.

4. LIS를 하나 출력해야한다.

• 1번 조건을 위해 배열 탐색 시간을 O(n log n) 으로 만들면 값을 항상 갱신하기 때문에 LIS를 만들기 위해서는 추가적인 방법이 필요하다.

1, 2, 3번 조건은 크게 어렵지 않으니 4번 조건 해결만 보자

문제가 되는 상황은 다음과 같은 상황이다.

수열 A가 1, 3, 4, 5, 2 가 주어진 경우 아래와 같이 동작한다.

LIS 배열이 비어있으니 1번으로 이동

LIS 배열의 가장 큰 값보다 현재 비교하는 값이 크기 때문에 가장 큰 값의 index + 1로 이동

4, 5도 마찬가지로 이동

2는 1보단 크지만 3보단 작기 때문에 LIS[2]를 갱신

결과 LIS의 최대 길이인 4는 맟출 수 있지만 수열 (1, 2, 4, 5) 는 수열 A의 LIS가 될 수 없다. 항상 값을 갱신하기 때문에 생기는 문제다.

---

1️⃣ 첫번째 풀이

정답이 될 수 있는 LIS 배열 ans 와 값을 비교해 각 정수의 위치를 찾는 배열 m 을 따로 두어 최대 값을 갱신할 때마다 현재의 ans 배열 을 갱신하는 방식이다. 이렇게 하면 최대 값이 갱신될 때만 ans 배열이 갱신되기 때문에 최대 값 갱신 이후의 갱신에 의한 값 덮어쓰기는 없어진다.

하지만 최대 값이 아닌 중간 값이 갱신되는 과정에서 순서가 섞일 수 있기 때문에 결과적으로 틀린 풀이가 되었다.

2️⃣ 두번째 풀이

중간 값도 갱신될 때마다 값을 저장한다. 2차원 vector v를 통해 각 값 별로 갱신될 때마다 값을 같이 갱신하는 방식이다. m[i]를 갱신하면 v[i] = v[i - 1] + Ai 로 각 인덱스마다 벡터로 저장하기 때문에 중간 값이 갱신 되어도 덮어쓰기에 의해 LIS가 변질될 가능성은 없다.

하지만 수열의 크기가 크기인 만큼 이론상 최대 ((n / 2) * ((n / 2) - 1)) / 2 의 크기가 생길 수가 있다... 어마어마한 메모리 낭비가 된다.
메모리 초과는 의도해서 띄운 걸 제외하면 처음 띄워본 것 같다...

3️⃣ 세번째 풀이

한참 고민하면서 노트에 직접 적어보다가 문득 항상 LIS 전체를 저장할 필요는 없다는 생각이 들었다. 각 값을 갱신할 때 버리지 말고 vector를 통해 저장하면서 갱신하고, Ai 를 갱신할 때 v[t] 에 push 해야한다면 v[t - 1]의 m번째 요소보다 작다는 걸 pair<int, int> 형태로 저장해두면 나중에 역순으로 찾아갈 수 있다!

비어있기 때문에 1번, 앞의 요소중 비교할 것이 없기 때문에 0을 함께 저장한다.

3은 1보다 크기 때문에 index 2로 들어간다. 이 때, 이전 index의 가장 큰 값의 index를 저장해준다. 1이 0번에 있기 때문에 (3, 0)을 저장한다.

4, 5도 마찬가지로 진행한다.

이렇게 하면 2가 남는데, 2도 마찬가지로 index 2번에 (2, 0)으로 push 한다.

이제 가장 큰 수부터 역순으로 찾아간다. 앞의 값이 LIS에 들어갈 수, 뒤의 값이 이전 index에서 몇번째 값을 참고하면 되는지를 의미한다.

5부터 역순으로 찾아가면 LIS (1, 3, 4, 5) 를 찾을 수 있다!

📚 새롭게 알게된 내용

역시 안될 때는 펜을 잡고 끄적여보자.

[InSange]

시간복잡도는 얼마 나왔는지 궁금하군요. 이진 탐색으로 log n으로 채워넣어야 할 곳들을 파악하고 끄집어 내는 과정 잘 봤습니다.

[seongwon030]

자신보다 작으면서 가장 큰 index를 저장하는 거군요? 최장증가 부분수열 시리즈 저도 한 번 도전해보겠습니다.

[yuyu0830]

시간복잡도는 얼마 나왔는지 궁금하군요. 이진 탐색으로 log n으로 채워넣어야 할 곳들을 파악하고 끄집어 내는 과정 잘 봤습니다.

각 요소별로 이진 탐색을 진행해야하니 O(n log n) 이 되겠네요! 수열 크기가 최대 1,000,000고, 이진 탐색을 하지 않는 경우도 포함하니 n log n / 2 해서 1,000,000,000 이하로 가능한 것 같아요 ㅎㅎ