15-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

다각형의 면적

✔️ 소요된 시간

5시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

n각형의 꼭지점 n개의 좌표 (x, y) 가 다각형을 이루는 순서대로 주어진다. 이 다각형의 면적을 구하자

• -100,000 <= x, y <= 100,000
• 3 <= n <= 10,000

❗ 풀이

요즘 푸는 문제마다 왜 다 이 꼴인지 모르겠다..

1️⃣ 첫번째 풀이

다각형을 포함하는 x, y축에 평행한 가장 작은 직사각형을 그린 뒤, 다각형에 포함되지 않는 범위를 하나씩 빼나가는 방식이다.

즉 아래의 파란 다각형에 대해 주황색 부분을 빼서 전체의 넓이를 구하는 방식이다.

다각형의 한 변을 포함하며 다각형의 내부에 포함되지 않는 삼각형(초록색)을 그려 변의 개수 만큼 빼주는 방식이다.

이미지 예제

그렇게 바깥 삼각형을 모두 빼고 나면 다각형의 넓이만 남게 된다는 풀이였다!

여기서 어려웠던 점은 다각형의 각 변과 큰 사각형의 어느 꼭지점 을 연결해야하는지 판단해야하는 부분이였다.

이 부분은 모든 꼭지점을 x 기준으로 정렬한 뒤 각 꼭지점을 시계방향으로 순회하는데, 탐색하는 꼭지점이 사각형의 각 변에 닿으면 다음 꼭지점과 이어주는 방식으로 구현했다.

이미지 예제

소스코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <math.h>

#define MAX 99999999
#define MIN -99999999

using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
    Point(int X, int Y) : x(X), y(Y) {};
    Point() {};

    bool operator== (const Point &p) {
        return x == p.x && y == p.y;
    }
};

bool compare(const Point& a, const Point& b) {
    if (a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}

float getArea(Point a, Point b) {
    float x = (float) abs(a.x - b.x);
    float y = (float) abs(a.y - b.y);

    return x * y;
}

float getTriangleArea(Point a, Point b, Point c) {
    int mx = min(min(a.x, b.x), c.x);
    int my = min(min(a.y, b.y), c.y);
    int Mx = max(max(a.x, b.x), c.x);
    int My = max(max(a.y, b.y), c.y);

    float area = (float) ((Mx - mx) * (My - my));

    return area - ((getArea(a, b) + getArea(b, c) + getArea(a, c)) / 2);
}

bool isin(int t, int a, int b) {
    return t >= a && t <= b;
}

vector<Point> v;
Point vp[2][2];

int minX = MAX, maxX = MIN;
int minY = MAX, maxY = MIN;

int main() {
    int n; cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a, b; cin >> a >> b;

        v.push_back(Point(a, b));

        minX = min(minX, a);
        maxX = max(maxX, a);
        minY = min(minY, b);
        maxY = max(maxY, b);
    }

    vp[0][0] = Point(minX, minY);
    vp[0][1] = Point(minX, maxY);
    vp[1][0] = Point(maxX, minY);
    vp[1][1] = Point(maxX, maxY);

    sort(v.begin(), v.end(), compare);

    float area = getArea(vp[0][0], vp[1][1]);

    int cnt = 1, cur = 0;
    bool dir = true, big = true;

    while (cnt != -1) {
        if ((big && isin(v[cnt].y, v[cur].y, dir ? MAX : v[0].y)) || (!big && isin(v[cnt].y, dir ? v[n - 1].y : MIN, v[cur].y))) {
            area -= getTriangleArea(v[cur], v[cnt], vp[!big][dir]);
            cur = cnt;

            if ((big && v[cnt].y == maxY) || (!big && v[cnt].y == minY)) big = !big;
        }
        
        if (cnt == v.size() - 1) {
            dir = false;
            cur = cnt;
        }

        cnt += dir ? 1 : -1;
    }

    printf("%.1f\n", round(area * 10) / 10);
}

열심히 적긴 했는데 위 풀이는 틀렸다. 다각형이 오목한 다각형도 존재하기 때문이다...!

오류 예시

위 노란색 사각형 같은 오류가 생긴다..!

3시간동안 열심히 짠 로직이지만 다시 생각할 필요가 생겼다..

2️⃣ 두번째 풀이

얼마전에 친구가 폐곡선 면적을 구할 때 도형의 윗 부분에 대한 적분 에서 아랫부분에 대한 적분 을 빼면 폐곡선의 면적을 구할 수 있다고 한 것에서 아이디어를 얻었다.

우선 계산을 단순하게 하기 위해서 다각형의 좌하단을 원점으로 삼았다.

이후 각 변마다 적분을 하는데, 여기서 꼭지점의 x의 진행 방향에 따라 더할지 말지 결정했다.

이미지 예시

위의 방식으로 푸는데 성공했다...!

소스코드

#include <iostream>
#include <vector>
#define MAX 99999999

using namespace std;

typedef long long ll;

struct Point {
    ll x, y;
    Point(ll X, ll Y) : x(X), y(Y) {};
};

ll getArea(Point a, Point b) {
    ll square = abs((a.x - b.x) * min(abs(a.y), abs(b.y))) * 2;
    ll triangle = abs((a.x - b.x) * (a.y - b.y));

    return square + triangle;
}

vector<Point> v;

int main() {
    ll a, b, area = 0, mx = MAX, my = MAX;

    int n; cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a >> b;
        v.push_back(Point(a, b));

        mx = min(mx, a);
        my = min(my, b);
    }

    for (auto &p : v) {
        p.x -= mx;
        p.y -= my;
    }

    v.push_back(v[0]);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Point cur = v[i];
        Point next = v[i + 1];

        area += getArea(cur, next) * (cur.x <= next.x ? 1 : -1);
    }

    printf("%.1f\n", abs((double) area / 2));
}

📚 새롭게 알게된 내용

수학 문제 재밌는데 난이도 진짜... 그래도 직접 풀었다는 것에 의의를 둔다.
원점 안옮기고 풀 수도 있던데 어떻게 하는지 모르겠다.

[InSange]

수학은 진짜 알아둬야하는데 어려워서 안하는 ^^;

원점으로 옮기면 편하긴하지만 기준점을 어디로 잡느냐에 따라 다른것 같네요
가장 낮은 위치의 점을 바탕으로하면 그 값을 기준으로 밑변의 좌표가 되지 않을까요? 그럼 원점대신 해당 점을 기준으로 사각형, 삼각형 면적을 그려주면 되니까 인것 같습니다.
하지만 그래도 원점이 이해하기 더 편하고 직관적이다능...

저도 문제를 보자마자 첫번째 방식을 떠올렸는데요. 대신 큰 사각형을 만들어서 하기보다는 해당 다각형의 중점을 구해줍니다.
N각형은 N개의 변이 만들어 질 것이고 두 점을 순차적으로 잘 연결하여 각 변에서 중점까지 선분을 그어주면 삼각형으로 계산할 수 있지 않을까요..?
중점의 선분은 삼각형의 높이가 되고 두 꼭짓점의 선분은 밑변이 되니까 N개의 삼각형이 만들어지고 합을 구해준다면..?

[yuyu0830]

저도 문제를 보자마자 첫번째 방식을 떠올렸는데요. 대신 큰 사각형을 만들어서 하기보다는 해당 다각형의 중점을 구해줍니다.
N각형은 N개의 변이 만들어 질 것이고 두 점을 순차적으로 잘 연결하여 각 변에서 중점까지 선분을 그어주면 삼각형으로 계산할 수 있지 않을까요..?
중점의 선분은 삼각형의 높이가 되고 두 꼭짓점의 선분은 밑변이 되니까 N개의 삼각형이 만들어지고 합을 구해준다면..?

그 방식도 생각 못해본건 아닌데 오목한 다각형의 경우에 중점이 도형 밖에 있기도 하고 계산한 삼각형의 범위가 기존 삼각형에 포함되지 않는 경우도 있어서 포기했습니다.. '오류 예시' 탭에 도형으로 생각해보시면 될 것 같아요 ㅠ

[seongwon030]

다각형을 포함하는 제일 작은 직사각형을 구해서 빼려고 했는데 신기하게도 틀린 풀이에 있었습니다...오목한 다각형도 있고 생각해보니 구할 때 너무 노가다 일 것 같네요. 삼각형과 사각형을 이용해서 적분으로 계산하는건 생각도 못했는데 좋은 풀이 잘 봤습니다.