13-seongwon030

[seongwon030]

🔗 문제 링크

피보나치 수 6

✔️ 소요된 시간

3시간

✨ 수도 코드

알고리즘 분류에서 분할 정복 부분을 보다가 행렬제곱으로 피보나치 수를 구하는 문제가 있어서 풀어봤습니다.
예전에 풀었던 행렬제곱 에서는 새로운 변수에 입력행렬을 저장해놓고
행렬곱으로 계속 갱신해주었는데 이 문제에서는 어떻게 기존값을 저장하면서 행렬곱을 진행해야 하는지 감을 잡기가 어려웠다.

행렬을 이용한 피보나치 계산

피보나치 수열의 정의를 사용해서 F(i+1) = F(i) + F(i-1) 과 F(i) = F(i) + 0를 세웠다. 여기서 각 항을 상수와 F로 나누어 행렬의 곱으로 바꾸면



이렇게 나타낼 수 있다.


마지막으로 점화식을 세우면 이런식이 나온다.

구현

행렬제곱연산은 위의 행렬제곱문제에서 사용했던 함수를 그대로 사용했다.

def matrixmult(A, B, mod):  # 행렬 곱 계산
    n = len(A)
    C = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
                C[i][j] %= mod
    return C

거듭제곱 연산하기

def matrixpow(M, N, mod):  # 행렬 거듭제곱 계산 (M의 N승)
    n = len(M)
    result = [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]  # 단위 행렬
    base = M
    
    while N:  # N이 0이 될 때까지 반복
        if N % 2 == 1:
            result = matrixmult(result, base, mod)
        base = matrixmult(base, base, mod)
        N //= 2

    return result

1. n이 짝수일 때
   
   
2. n이 홀수일 때

n이 짝수일 때는 M의 N/2승을 두 번 곱하면 되지만, n이 홀수일 때는 M의 n-1 승을 구하고 M을 추가로 곱해줘야 한다.

📚 새롭게 알게된 내용

result에 거듭제곱행렬을 저장해야 시간초과가 나지 않는다

[yuyu0830]

행렬이 다양한 연산에 사용될 수 있다는 걸 알게된 문제였죠.. 직접 식을 적어가며 왜 행렬 연산을 했을 때 피보나치가 나오는지 알았을 때는 진짜 신기했었던 기억이 있습니다 ㅎㅎ
여담으로 % 2 연산을 해나갈 때는 bitwise 연산을 통해서 더욱 빠르게 할 수 있다는 것 아시나요? 파이썬이라 접근성은 떨어지겠지만 bit 단위로 사고를 확장할 수도 있습니다!

[InSange]

행렬 문제를 풀이할 때 제곱 수만큼에 따라 계산을 해줬던게 되게 골머리를 썩는 일이 많아서 피보나치도 이것을 적용해서 큰 수를 풀어나갈 수 있지 않을까 생각했는데 그대로 행렬을 써서 풀줄은 생각 못했습니다. 특히 입력으로 주어지는 수가 되게 큰데 메모리가 어떻게 나오는지 궁금한데 알려주실 수 있나용?

[seongwon030]

행렬 문제를 풀이할 때 제곱 수만큼에 따라 계산을 해줬던게 되게 골머리를 썩는 일이 많아서 피보나치도 이것을 적용해서 큰 수를 풀어나갈 수 있지 않을까 생각했는데 그대로 행렬을 써서 풀줄은 생각 못했습니다. 특히 입력으로 주어지는 수가 되게 큰데 메모리가 어떻게 나오는지 궁금한데 알려주실 수 있나용?

이렇게 나왔습니다!