5-dhlee777

[dhlee777]

🔗 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/1197

✔️ 소요된 시간

2시간

✨ 수도 코드

최소 스패닝(신장) 트리(mst)란 주어진 그래프의 모든 정점을 연결하는 부분그래프중에서 그 가중치의 합이 최소인 트리를 의미합니다.

이 조건을 만족하기 위해서는
1.간선의 개수가 (정점-1)개 존재하여 한다.
2.사이클이 존재하지 않아야한다.(트리의 특성)
이 두가지 조건에 신경을 써서 문제를 풀었습니다.
저는 이 최소 신장 트리를 구하기 위해 그리디 방식을 이용하는 kruskal 알고리즘을 사용하였습니다. 이 알고리즘은 우선
주어진 간선들 중 우선순위 큐를 이용하여
1.최소 간선부터 뽑아낸다. (greedy)
2.그 간선을 추가했을때 사이클이 발생하는지 union-find를 통해 확인해준다.
3.if (사이클이 발생할경우) 반복문으로 돌아가서 큐에서 다시 간선을 뽑는다.
else(사이클 발생x) 그 간선을 카운트(추가)해주고 간선의 가중치를 sum 에 더해준다.
4. 만약 (간선의개수==정점-1)이 된다면 정점들이 다 연결된것이므로 종료한다.
5. 가중치의 합이 저장된 sum을 출력해준다.

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int parent[10001];  //부모노드를 저장해주는 배열
int sum, cnt = 0;
int v_num, e_num;
priority_queue < pair<int, pair<int, int>>, vector<pair<int, pair<int, int>>>, greater<pair<int, pair<int, int>>>>q;
//간선의 가중치가 오름차순으로 정렬되는 우선순위큐,큐의 원소는pair(가중치,정점1,정점2)로 이루어진다.
int find_parent(int a) {   //어떤 노드의 루트노드를 찾는 함수
	if (a == parent[a]) return a;
	else
		return parent[a] = find_parent(parent[a]);
}
void add(int a, int b) {     //두 노드가 속한 집합을 합쳐주는 함수
	a = find_parent(a);
	b = find_parent(b);
	if (a > b) parent[a] = b;
	else parent[b] = a;
}
bool compare_union(int a, int b) {   //두 노드가 같은집합인지 판별해주는 함수
	a = find_parent(a);
	b = find_parent(b);
	return (a == b);
}
void find_min() {    //가중치의 최솟값을 출력하는 함수
	while (!q.empty()) {   //큐에서 간선의 가중치가 가장낮은 pair를 꺼낸다.(greedy)
		int v1 = q.top().second.first;      //연결된 정점1
		int v2 = q.top().second.second;    //연결된 정점2
		int eg = q.top().first;            //간선 가중치
		q.pop();
		if (compare_union(v1, v2)) continue;    //꺼낸 두 정점이 같은 집합일 경우 선택시 사이클이 발생하므로 선택하지않고 반복문 계속진행
		else   //두 정점이 다른 집합일경우(그 간선 선택)
		{
			add(v1, v2);  //두 정점 이 각각 속한 집합을 합쳐준다.
			sum += eg;   // 가중치를 더해준다.
			cnt++;   //간선을 카운트해준다
		}
		if (cnt == v_num - 1) //만약 간선의 수가 정점-1 이되면 정점들이 다 연결된것이므로 반복문 종료
			break;

	}
	cout << sum;  //가중치 의 합 출력
}
int main(void) {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int v1, v2, eg;    // 정점1,정점2,가중치
	cin >> v_num >> e_num;
	for (int i = 0; i < e_num; i++) {   //간선 개수만큼 입력받는다
		cin >> v1 >> v2 >> eg;
		q.push(make_pair(eg, make_pair(v1, v2)));    //pair(가중치,정점1,정점2)를 큐에 넣는다. 
	}

	for (int i = 0; i < v_num; i++) {  //자기자신의 부모를 자기자신으로 초기화
		parent[i] = i;
	}
	find_min();
	return 0;
}

📚 새롭게 알게된 내용

실제로 자료구조 책에서 보기만 했던 최소 신장트리 인데 이렇게 직접 union-find를 이용해 사이클이 발생하는지 판별해주고 greedy 를 이용하여 (정점-1)개의간선을 찾아나가는 과정이 흥미로웠다. 이번에는 kruskal 알고리즘을 이용하였지만 다음번에는 prim 알고리즘을 이용하여 풀어봐야겠다.

[InSange]

최소 신장 트리 되게 오랜만에 보네요!
union find가 되게 유용하게 많이 쓰이는 군요.
최소 신장 트리에 대표적인 두가지 방법 prim과 크루스칼 두 가지 방법을 썼을 때 시간 복잡도가 궁금합니다! 추후에 업데이트 가능할까요?
저는 비교하고 업데이트 해주는 과정이 시간 복잡도 상으로 따졌을 때 우선 순위 큐 하나로 처리하는 prim이 빠른 것 같아서 prim으로 단번에 처리하는 경우가 많다보니 문득 궁금해지네요.

[seongwon030]

유니온파인드를 전부터 잘 활용하시는 것 같아요! 크루스칼은 간선을 모두 확인하는 알고리즘인데 더 효율적인 알고리즘이 있는지 궁금합니당.

[yuyu0830]

마침 알고리즘 수업에서 스패닝 트리를 배우고 있는데 딱 좋은 타이밍에 스패닝 트리를 풀어주셨네요. 덕분에 스패닝 트리 공부 충분히 하고 갑니다.
pari<int, pair<int, int>> 는 좀 복잡하니까 구조체나 class 사용하던가 typedef를 통해 좀 더 간단히 줄여서 사용할 수 있습니다 :)

[dhlee777]

최소 신장 트리 되게 오랜만에 보네요! union find가 되게 유용하게 많이 쓰이는 군요. 최소 신장 트리에 대표적인 두가지 방법 prim과 크루스칼 두 가지 방법을 썼을 때 시간 복잡도가 궁금합니다! 추후에 업데이트 가능할까요? 저는 비교하고 업데이트 해주는 과정이 시간 복잡도 상으로 따졌을 때 우선 순위 큐 하나로 처리하는 prim이 빠른 것 같아서 prim으로 단번에 처리하는 경우가 많다보니 문득 궁금해지네요.

저는 prim 알고리즘으로 구현을 안해봐서 prim 시간복잡도는 찾아보니 정점의 개수가 n이고 간선의 개수가 e 일때 o(elogn)이라고 하네요..
크루스칼의 경우 간선들을 모두 우선순위큐에넣어 정렬시키는 알고리즘이므로 한번 삽입할때 loge 의 시간복잡도가 발생하므로 e개를 삽입하면 o(eloge) 의 시간복잡도가 됩니다. 따라서 간선이 많은경우는 프림 간선이 적은경우는크루스칼 알고리즘이 유리하다고 볼 수 있을거 같습니다 !

[dhlee777]

유니온파인드를 전부터 잘 활용하시는 것 같아요! 크루스칼은 간선을 모두 확인하는 알고리즘인데 더 효율적인 알고리즘이 있는지 궁금합니당.

위에 언급한 대로 크루스칼의 시간복잡도는 o(eloge) 프림의 시간복잡도는 o(elogn)이므로 간선이 많을 경우에는 프림
간선이 적을경우에는 크루스칼의 알고리즘을 사용하는 등 상황에 맞게 효율적인 알고리즘을 사용해주시면 될 것
같아요 !

[dhlee777]

마침 알고리즘 수업에서 스패닝 트리를 배우고 있는데 딱 좋은 타이밍에 스패닝 트리를 풀어주셨네요. 덕분에 스패닝 트리 공부 충분히 하고 갑니다. pari<int, pair<int, int>> 는 좀 복잡하니까 구조체나 class 사용하던가 typedef를 통해 좀 더 간단히 줄여서 사용할 수 있습니다 :)

감사합니다 ! 항상 저렇게 이중 pair를 사용했었는데 이제 구조체에 익숙해져봐야겠네요 !