1-rivkms

[rivkms]

🔗 문제 링크

평범한 배낭

✔️ 소요된 시간

1h

✨ 수도 코드

🎷문제 선정 과정

나름 첫 시간이니깐 그동안 많이 공부했었던 DP, 그중에서도 knapsack 문제를 가지고 왔습니다.

문제 이해

문제에서의 입력은 다음과 같습니다.

주어지는 입력
1. 물품의 수 N
2. 배낭에 넣을 수 있는 무게 K
3. N 개의 물건의 무게 W
4. N 개의 물건의 가치 V

위 4가지 입력을 이용하여 배낭에 넣을 수 있는 최대의 가치를 찾는 문제입니다.

문제 풀이

일단 DP를 풀기 위하여 어떻게 하면 최대의 가치를 가지는지 조금 더 직관적으로 알기 위해 DP Table을 그려봅시다.

1️⃣ 일반적인 경우 :
위의 표에서 (3,7)의 값이 어떻게 나오게 되었는지 생각해볼까요?

• (3,7)은 배낭의 크기가 7인 경우 1, 2, 3번 물건을 넣을 수 있을 때 최대 가치

우리는 (2,7) 과 (2,4)+3번째 물건의 가치 를 비교하여 그 중 큰 것을 찾게 됩니다.
그 결과 13 vs 8+6=14로서 14가 더 크니 (3,7)에는 14 가 들어가게 됩니다.

2️⃣ 특별한 경우 :
위의 표에서 (4,3)의 값을 볼까요?
4번째 물건의 무게인 5보다 베낭의 크기가 작아 해당 물건을 배낭에 넣지 못합니다.
그래서 (3,3) 의 값이 바로 내려오게 되겠죠.

✔️이 표를 Value라고 명명할 때, 결과적으로, 다음의 관계식을 적을 수 있습니다.

Value[i][j] = Value[i-1][j] (Wi < j)
Value[i][j] = Max ( Value[i-1][j], Value[i-1][j-Wi] + Vi ) (Wi > j)

위 관계식을 잘 구해냈다면, 이젠 코드로 짜기만 하면 됩니다!!

코드 작성

1️⃣ 입력값들을 뚝딱 받고
2️⃣ Value 배열을 만든 후 
3️⃣ i와 j를 늘려가며 위에서 구했던 관계식을 이용하여 Value 배열을 채워나갑니다. 
4️⃣ 끝에는 Value[N][K]를 출력하면 
5️⃣ 문제 해결!!

를 코드로 쓰면 다음과 같겠죠

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;


int main(){
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<pair<int, int>> wv(n+1, pair<int, int>(0,0));
    vector<vector<int>> value (n+1, vector<int>(k+1, 0));
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        cin >> wv[i].first >> wv[i].second;        
    }
    
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        for(int j = 1; j<=k;j++){
            if(wv[i].first > j ){
                value[i][j] = value[i-1][j];
            }
            else{
                value[i][j] = max(value[i-1][j], value[i-1][j-wv[i].first]+wv[i].second);
            }
            
        }
    }
    cout << value[n][k];

    return 0;
}

📚 새롭게 알게된 내용

📢 만약 물건을 중복할 수 있다면 관계식으로 풀면 되겠죠?

Value[i][j] = Value[i-1][j] (Wi < j)
Value[i][j] = Max ( Value[i-1][j], Value[i][j-Wi] + Vi ) (Wi > j)

왜 그런지는 한번 생각해보시길

📢 이 방법 외에도 다양한 방법이 있는 것 같습니다.
이 글에서 잘 설명해둔 것 같아 첨부해봅니다.
[알고리즘 - 이론] 0-1 KnapSack Problem and Fractional

한번 참고해보시면 좋을 것 같습니다.

📝 제 코드를 조금 더 개선해보자면,
1️⃣ 위의 표에서 맨 처음 0인 값들 없애기 -> 물건의 무게의 최소값을 기준으로 자르기
2️⃣ 2차원 배열을 사용하지 않고 1차원 배열로 풀기

등등이 있을 것 같네요

[kjs254]

DP table을 통한 설명이 시각적으로 이해하기 아주 좋았습니다. 👍

문제를 처음 직면했을 때 탐욕법이 직관적으로 떠올랐는데 참고 글을 읽어보니 물품이 분할 가능할 때 탐욕법을 사용한다는 점을 알게 되었습니다.

이번 풀이를 통해 DP 알고리즘을 공부할 수 있었습니다. 수고하셨습니다❗❗❗

[kjs254]

제가 c++에서 코드구현이 익숙하지 않아 여쭤보자면

위의 블럭에서 입력값을 받고 value 배열을 생성한 뒤,

아래 for문에서 관계식을 이용하여 value 배열을 채워나간다고 이해하면 될까요?

[rivkms]

넵 value가 DP Table이라고 보시면 되고 DP Table을 관계식을 이용해서 채워나간다고 생각하시면 됩니다 😁

[miniron-v]

PR 잘 봤습니다! 잘 짜여진 점화식과 설명에서, 얼마나 열심히 공부하셨는지가 잘 드러나네요.

저도 저희 팀(5팀) PR에서 이 문제를 보고 풀어봤는데, 많은 깨달음을 얻을 수 있던 문제였습니다.

AlgoLeadMe/AlgoLeadMe-5#55

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

bool compare(std::pair<int, int> a, std::pair<int, int> b) {
	return a.first < b.first;
}

int main() {
	// 입력
	int n, k;
	std::cin >> n >> k;

	std::vector<std::pair<int, int>> stuff(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		std::cin >> stuff[i].first >> stuff[i].second;
	}

	std::sort(stuff.begin(), stuff.end(), compare);

	// dp
	std::vector<int> max_cost(k + 1, 0);

	for (auto& s : stuff) {
		for (int i = k; i >= 1; --i) {
			if (i - s.first < 0) {
				break;
			}

			if (max_cost[i - s.first] + s.second > max_cost[i]) {
				max_cost[i] = max_cost[i - s.first] + s.second;
			}
		}
	}

	std::cout << max_cost[k];
}

2차원 배열의 행을 순서대로 봤을 때, 항상 아래쪽 행이 위쪽 행보다 값이 큰 사실을 발견할 수 있죠. 게다가 항상 바로 위 행만 접근하니, 리팩토링 중 한 줄 배열이면 충분하겠다라는 생각이 금방 들 것 같아요. (마지막 행을 제외하면 기억할 필요가 없으니까요.)

첫 PR인데도 상세하고 명확한 설명 감사드립니다. 고생하셨어요!

[YIM2UL2ET]

좋은 아이디어에 그것을 코드로 구현한 것도 흠잡을 곳 조차 없다고 생각합니다. 수고하셨습니다!

[YIM2UL2ET]

그림이 있으니깐 알고리즘 이해가 확실히 잘되네요. 덕분에 좋은 아이디어 하나 얻고 갑니다!