3-rivkms

[rivkms]

🔗 문제 링크

쉬운 계단 수

디코에서 풀어보면 좋을 것이라고 공유해주셔서 한번 풀어봤습니다.
재밌는 문제였어요 😁

✔️ 소요된 시간

1~2h

✨ 수도 코드

▶️ 문제 유형

: DP : 큰 문제를 작은 문제로 나누어서 풀이하는 방식의 알고리즘. [동적계획법, 메모이제이션]
1차시에 이어 다시 DP 문제로 돌아왔습니다.
하지만 다른 풀이 방식을 사용하여 DP 풀이의 새로운 방법을 제시할 것이니 기대하셔도 좋을 것 같습니다.

❓왜 DP인가(문제 크기를 어떻게 줄이지?)

앞자리에 x(0~9사이의 임의의 수)가 들어가는 길이 n의 계단 수의 개수를 구하는 방법
앞자리에 x-1과 x+1이 들어가는 길이 n-1의 계단 수의 개수의 합

‼️아하 n번째를 구하기 위해서 n-1번째의 값을 알면 쉽게 풀 수 있겠구나

▶️ 그림으로 봅시다

‼️ 재귀로 문제를 풀어볼 수 있을 것 같다.

∴ Top-down 방식이라고 함

❓점화식

num[n][a] = num[n-1][a-1] + num[n-1][a+1]

▶️ n : 계단수의 길이, a : 계단수가 시작하는 값

❓탈출조건 :

길이가 1이면서 a로 시작하는 계단 수는 1개밖에 없음

한 자릿수는 각 a에 대하여 하나씩 존재

if(n==1)
    num[n][a] = 1 //이 조건은 초기조건으로 세팅하여 코드상에는 없음

❓추가적인 고려사항

1️⃣ n번째 자리가 0일 때

num[n][a] = num[n-1][1]

2️⃣ n번째 자리가 9일 때

num[n][a] = num[n-1][8]

🛑 BUT

근데 재귀를 사용하면 오버헤드가 발생할 수 있죠?

위 그림에서 빨간색은 중복되서 계산되게 되는데, 같은 계산을 여러 번 해야해서 시간이 낭비됩니다.

‼️ 추가 탈출조건

1️⃣ 계산된 값을 배열에 저장
2️⃣ 배열에 미리 계산된 값이 있으면 그 결과를 가져옴

이 방법으로 불필요한 계산을 줄일 수 있는데 이 방법을 메모이제이션 기법이라 합니다.

메모이제이션

값비싼 함수 호출의 결과를 캐싱하고 동일한 입력이 다시 발생할 때 불필요하게 다시 계산하는 대신 캐싱된 결과를 반환하는 프로그래밍 기술. 성능 하면 빠질 수 없는 메모이제이션, 네가 궁금해

자 그렇다면 위의 내용을 종합하여 Sudo code를 작성해보면

1️⃣  계단 수의 자릿수인 n을 입력받는다. 
2️⃣ 메모이제이션 계산 결과를 저장할 벡터 vec의 초기값을 설정한다. 
3️⃣ 앞자리 수가 1~9인 경우에 대하여 함수를 호출한다.
---함수---
1️⃣ vec에 값이 있으면 그 값을 반환한다. 
2️⃣ a가 0이라면 0으로 시작하는 n-1 길이의 계단 수의 개수를 반환한다. 
3️⃣ a가 9이라면 8로 시작하는 n-1 길이의 계단 수의 개수를 반환한다. 
4️⃣ 그 외의 경우 각 앞자리가 a-1, a+1로 시작하는 n-1 길이의 계단 수의 개수의 합을 반환한다. 
5️⃣ 위의 모든 경우에 대하여 메모이제이션에 결과를 저장한다. 
---끝---
4️⃣ 함수의 결과를 sum에 저장한다. 
5️⃣ sum을 출력한다. 

🖥️ 코드 구현

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<vector<int>> vec(101,vector<int> (10,0));

int func(const int & n, const int & a){
    if(vec[n][a]){
        return vec[n][a];
    }
    else if(a==0){
        return vec[n][a] = func(n-1, 1)%1000000000;
    }
    else if(a==9){
        return vec[n][a] = func(n-1, 8)%1000000000;
    }
    return vec[n][a] = ((func(n-1, a-1)) + (func(n-1, a+1)))%1000000000;
}

int main(){
    int n, sum = 0;
    cin >> n;
    
    
    for(int i = 0 ;i<=9; i++){
        vec[1][i] = 1;
    }
    
    for(int i = 1; i<=9; i++){
        sum+=func(n ,i);
        sum%=1000000000;
    }
    cout << sum;
    return 0;
}

> 문제 상에서 1000000000로 나눈 나머지를 출력하라 했기에 그 과정도 포함되어 있습니다. 

📚 새롭게 알게된 내용

✔️ 1차시 때와 이번 차시에 DP문제를 다루어봤는데 서로 다른 풀이 방법을 사용해보았습니다.
이번 차이에는 Top-bottom 방식을, 1차시 때에는 Bottom-up 방식을 사용해보았습니다.

Top-bottom	차이	Bottom-up
큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출	Start	작은 문제부터 차근차근 답을 도출해나감
재귀 함수	Start	반복문
메모이제이션	Center	DP 테이블

이러한 주요한 차이점을 이해하시고 두 방법 모두 프로그래밍 하실 수 있으시면 DP에 대해 어느 정도 이해한 것이 아닐까요?
관련하여 링크 몇 개 달아두겠습니다.

1️⃣ 동적 계획법( DP - Dynamic Programming ), 메모이제이션( Memoization )

2️⃣ [Algorithm] Top-Down, Bottom-Up 이란?

3️⃣ 20. 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

✔️ 메모이제이션 기법과 DP의 차이점, 그리고 Top-down방식과 Bottom-up 방식의 명확한 차이와 그 관계에 대하여 명확한 설명을 못할 것 같았는데, 이번 기회에 확실하게 알 수 있었던 것 같습니다.

[YIM2UL2ET]

DP를 잘 몰라도 DP테이블과, 자료까지 첨부해주시니 어느 정도 이해가 되네요. 문제 시각화부터 예외 처리까지 배울 점이 많은 코드였습니다. 지난 차시에 이어서 재귀에 관한 팁도 잘 얻어갑니다. 나중에 DP 공부할 때 첨부해주신 자료도 다시 한번 읽어봐야겠네요. 수고하셨습니다.

[kjs254]

n 번째 값을 이용하기 위해 n-1 번째 값을 구하는 재귀 방식을 아주 잘 이해할 수 있었습니다.

저번에 올라왔던 하노이탑 문제와도 비슷한 계열인 것 같습니다.

이번에 사용한 재귀 방식이 DP 방식의 한 종류로 이해하게 되었습니다. 감사합니다.

[kjs254]

초기조건을 설정한 부분인데 vec[n][a] 을 전역변수로 처리하는 과정이 혹시 어디에 있는지도 물어봐도 괜찮을까요?

제가 c++이 익숙하지 않아 질문드립니다.

[rivkms]

함수 외부에

vector<vector<int>> vec(101,vector<int> (10,0));

와 같은 코드가 있는 것을 볼 수 있으실 겁니다.

이게 다른 언어로 치면 2차원 배열을 선언한 것인데, 특정 함수 내에 들어가있지 않고 외부에서 전역변수로 선언하셨다고 생각하시면 될 것 같습니다.

[kjs254]

위 부분이 메모제이션 방식을 구현한 코드가 맞는지 궁금합니다.

[rivkms]

메모이제이션이라고 보셔도 된다고 생각합니다.
해당 배열에 값이 있다면(한번 계산이 되었다면) 그 값을 불러와 사용하는 것이니 메모이제이션 기법을 사용하였다고 보셔도 될 것 같습니다.

물론 저 코드만을 메모이제이션으로 생각하시기 보단,
"함수의 계산 값을 저장하여 같은 계산을 줄이고자 하는 과정" 자체를 메모이제이션으로 받아들이셔서
해당 부분 외에도 함수의 결과를 배열에 저장하는 과정도 메모이제이션 방식을 사용하셨다고 생각하시면 좋을 것 같습니다.