hw02.tex

\documentclass[draft]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{cmap}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\cat}[1]{\mathbf{#1}}
\renewcommand{\C}{\cat{C}}
\newcommand{\Set}{\cat{Set}}
\newcommand{\Grp}{\cat{Grp}}
\newcommand{\Ab}{\cat{Ab}}
\newcommand{\Vec}{\cat{Vec}}
\newcommand{\Hask}{\cat{Hask}}
\newcommand{\Mat}{\cat{Mat}}
\newcommand{\Num}{\cat{Num}}

\begin{document}

\title{Задания}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Опишите в категории (пред)порядка следующие конструкции:
\begin{enumerate}
\item Терминальные объекты.
\item Произведения объектов.
\end{enumerate}

\item Пусть в категории $\C$ существует терминальный объект 1.
Докажите, что для любого объекта $A$ в $\C$ существует произведение $A \times 1$.

\item Докажите, что любой морфизм из терминального объекта является мономорфизмом.

\item Докажите, что если $f : A \to B$ и $g : B \to C$ -- мономорфизмы, то и $g \circ f$ -- мономорфизм.

\item Докажите, что если $g \circ f$ -- мономорфизм, то и $f$ -- мономорфизм.

\item Пусть в категории $\C$ существует терминальный объект 1 и некоторый морфизм $1 \to B$.
Докажите, что любая проекция $\pi_1 : A \times B \to A$ является эпиморфизмом.

\item Докажите, что в $\Ab$ существуют все произведения.

\end{enumerate}

Бонусные задания:

\begin{enumerate}

\item Докажите, что если в категории $\C_M$ существуют бинарные произведения и моноид $M$ нетривиален, то он бесконечен.

\item Докажите, что если в категории $\C_M$ существуют бинарные произведения и моноид $M$ нетривиален, то для любого натурального $n > 1$ существует $x \in M$ такой, что $x \neq 1$ и $x^n = 1$.

\item Приведите пример нетривиального моноида $M$ такого, что в категории $\C_M$ существует бинарные произведения.

\end{enumerate}

\end{document}