diff --git a/geometria2.tex b/geometria2.tex index 01c060e..a4054ce 100644 --- a/geometria2.tex +++ b/geometria2.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \input{teoria/2.gram-schmidt.tex} \input{teoria/2.proiezioni-ortogonali.tex} \input{teoria/2.matrici-ortogonalmente-diagonalizzabili.tex} -\input{teoria/2.forme-quadratiche.tex} +% \input{teoria/2.forme-quadratiche.tex} \input{teoria/2.coniche.tex} \input{teoria/2.quadriche.tex} @@ -45,6 +45,8 @@ \section{Esercizi svolti} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rule{0.3\linewidth}{0.25pt} \scriptsize\\ -\href{mailto:marco.donadoni@mail.polimi.it}{M. Donadoni}, \href{mailto:edoardo.morassutto@mail.polimi.it}{E. Morassutto}, Politecnico di Milano, A.A. 2016/17 +\href{mailto:marco.donadoni@mail.polimi.it}{M. Donadoni}, \href{mailto:edoardo.morassutto@mail.polimi.it}{E. Morassutto}, +\href{mailto:alessandro.fulgini@mail.polimi,it}{Alessandro Fulgini} \\ +Politecnico di Milano, A.A. 2016/17 \end{multicols} \end{document} diff --git a/teoria/2.cono-cilindro.tex b/teoria/2.cono-cilindro.tex new file mode 100644 index 0000000..82fcf23 --- /dev/null +++ b/teoria/2.cono-cilindro.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\begin{multicols}{2} + \textbf{Cono generalizzato}: \\ + $\begin{cases} + \overrightarrow{VP}=t\cdot\overrightarrow{VP_{0}}& P_{0}\in \mathfrak{C} \\ + Q(\vec{x_{0}})=0 \\ + L(\vec{x_{0}})=0 \\ + \end{cases}$ \\ + + \textbf{Cilindro generalizzato}: \\ + $\begin{cases} + \overrightarrow{P_{0}P}=t\cdot\vec{v}& P_{0}\in \mathfrak{C} \\ + Q(\vec{x_{0}})=0 \\ + L(\vec{x_{0}})=0 \\ + \end{cases}$ \\ +\end{multicols} diff --git a/teoria/2.quadriche-di-rotazione.tex b/teoria/2.quadriche-di-rotazione.tex new file mode 100644 index 0000000..d4e4e78 --- /dev/null +++ b/teoria/2.quadriche-di-rotazione.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +\textbf{Quadrica di rotazione}: \\ +$\begin{cases} + \langle\vec{n},\overrightarrow{P_{0}P}\rangle=0 & \vec{n}$ asse di rotazione$\\ + d(P_{0},r)=d(P,r) & P_{0}\in \mathfrak{C}\\ + Q(\vec{x_{0}})=0 \\ + L(\vec{x_{0}})=0 \\ +\end{cases}$ \\ diff --git a/teoria/2.quadriche-rotazioni-tabella.tex b/teoria/2.quadriche-rotazioni-tabella.tex new file mode 100644 index 0000000..438c451 --- /dev/null +++ b/teoria/2.quadriche-rotazioni-tabella.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +\textbf{Rotazioni}: ($z = 0$) $F(x, y)$ attorno $x$ diventa $F(x, \sqrt{y^2+z^2})$ +$F(x,y,z)$ è di rotazione $\Leftrightarrow$ ha 2 autoval uguali, diversi da 0. + +\begin{tabular}{cccl} + \textbf{Equazione} & \textbf{Asse} & \textbf{Risultato} & \textbf{Nome} \\ + \hline + $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ & $x$ & $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$ & Ellis. di rot. \\ + $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & $x$ & $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$ & Iperb. ellit. \\ + $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & $y$ & $\frac{x^2+z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & Iperb. iperb. \\ + $x^2=2py$ & $x$ & $x^2+z^2=2py$ & Parab. di rot. +\end{tabular} diff --git a/teoria/2.quadriche.tex b/teoria/2.quadriche.tex index 3fa0fac..ffb01f8 100644 --- a/teoria/2.quadriche.tex +++ b/teoria/2.quadriche.tex @@ -10,17 +10,9 @@ \section{Quadriche} Non tutti i coni/cilindri sono quadriche. -\textbf{Rotazioni}: ($z = 0$) $F(x, y)$ attorno $x$ diventa $F(x, \sqrt{y^2+z^2})$ -$F(x,y,z)$ è di rotazione $\Leftrightarrow$ ha 2 autoval uguali, diversi da 0. - -\begin{tabular}{cccl} - \textbf{Equazione} & \textbf{Asse} & \textbf{Risultato} & \textbf{Nome} \\ - \hline - $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ & $x$ & $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$ & Ellis. di rot. \\ - $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & $x$ & $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$ & Iperb. ellit. \\ - $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & $y$ & $\frac{x^2+z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ & Iperb. iperb. \\ - $x^2=2py$ & $x$ & $x^2+z^2=2py$ & Parab. di rot. -\end{tabular} +% \input{teoria/2.quadriche-rotazioni-tabella.tex} +\input{teoria/2.quadriche-di-rotazione.tex} +\input{teoria/2.cono-cilindro.tex} \textbf{Fascio di quadriche}: $\lambda F(x, y, z) + \mu G(x, y, z) = 0$ @@ -37,7 +29,7 @@ \section{Quadriche} & Coni e cilindri & P & Si & \\ \end{tabular} -Quadrica $\cap$ piano tangente $=$ 1 retta (punto parabolico), 2 rette incidenti (punto iperbolico), 1 punto (punto ellittico). +Quadrica $\cap$ piano tangente $=$ 1 retta (punto parabolico), 2 rette incidenti (punto iperbolico), 1 punto (punto ellittico). \textbf{Classificazione} \begin{tabular}{ll} diff --git a/teoria/2.spazi-euclidei.tex b/teoria/2.spazi-euclidei.tex index 73ad112..6d989f9 100644 --- a/teoria/2.spazi-euclidei.tex +++ b/teoria/2.spazi-euclidei.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \section{Spazi euclidei} Angolo & $\cos \theta = \frac{\product{\vec{u}}{\vec{v}}}{||\vec{u}||\,||\vec{v}||}$ \\ Dis. triangolare & $||\vec{u}+\vec{v}|| \le ||\vec{u}||+||\vec{v}||$ \\ Dist. punto-piano & $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ \\ - Dist. punto-retta & $||\vec{u} \times \overline{P_0Q}||$ ($\vec{u}$ versore di $r$, $Q \in r$) \\ + Dist. punto-retta & $\frac{||\vec{u} \times \overline{P_0Q}||}{||\vec{u}||}$ \\ Dist. retta-retta & $\frac{|\product{\overline{P_1P_2}}{\vec{r_1} \times \vec{r_2}}|}{||\vec{r_1} \times \vec{r_2}||}$ ($P_1 \in r_1$, $P_2 \in r_2$) \end{tabular}