fmt7_final.tex

% arara: xelatex
\documentclass[11pt]{article} % размер шрифта

\usepackage{tikz} % картинки в tikz
\usepackage{microtype} % свешивание пунктуации

\usepackage{array} % для столбцов фиксированной ширины

\usepackage{indentfirst} % отступ в первом параграфе

\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{verbatim}

\graphicspath{{images/}} % путь к картинкам

\usepackage{sectsty} % для центрирования названий частей
\allsectionsfont{\centering} % приказываем центрировать все sections

\usepackage{amsmath, amssymb} % куча стандартных математических плюшек

\usepackage[top=2cm, left=1cm, right=1cm, bottom=1cm]{geometry} % размер текста на странице

\usepackage{lastpage} % чтобы узнать номер последней страницы

\usepackage{enumitem} % дополнительные плюшки для списков
%  например \begin{enumerate}[resume] позволяет продолжить нумерацию в новом списке
\usepackage{caption} % подписи к картинкам без плавающего окружения figure

\usepackage{circuitikz} % для рисовки электрических цепей

\usepackage{physics} 

\usepackage{fancyhdr} % весёлые колонтитулы
\pagestyle{empty}
%\lhead{ФМТ}
%\chead{}
%\rhead{КЛШ-2019}
%\lfoot{}
%\cfoot{}
%\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}



\usepackage{todonotes} % для вставки в документ заметок о том, что осталось сделать
% \todo{Здесь надо коэффициенты исправить}
% \missingfigure{Здесь будет картина Последний день Помпеи}
% команда \listoftodos — печатает все поставленные \todo'шки

\usepackage{booktabs} % красивые таблицы
% заповеди из документации:
% 1. Не используйте вертикальные линии
% 2. Не используйте двойные линии
% 3. Единицы измерения помещайте в шапку таблицы
% 4. Не сокращайте .1 вместо 0.1
% 5. Повторяющееся значение повторяйте, а не говорите "то же"

\usepackage{fontspec} % поддержка разных шрифтов
\usepackage{polyglossia} % поддержка разных языков

\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}

\setmainfont{Linux Libertine O} % выбираем шрифт
% можно также попробовать Helvetica, Arial, Cambria и т.Д.

% чтобы использовать шрифт Linux Libertine на личном компе,
% его надо предварительно скачать по ссылке
% http://www.linuxlibertine.org/

\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
% пояснение зачем нужно шаманство с \newfontfamily
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/

\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*} % списки уровня 2 будут буквами а) б) ...

%% эконометрические и вероятностные сокращения
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand \hVar{\widehat{\Var}}
\let\P\relax
\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}
\let\Re\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}


% делаем короче интервал в списках
\setlength{\itemsep}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\parsep}{0pt}




\newcommand{\putlogo}{
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.25]{klshlogo.pdf} &
\raisebox{1cm}{
    {\Large\bf ФМТ финал}
}
\end{tabular}
\end{center}
}


\newcommand{\easymath}{
Летнешкольники в количестве 99 человек встали в ряд.
Первый сказал, что обожает рыбные котлеты. А начиная со второго все говорили одно и то же утверждение
«Среди сделанных ранее заявлений более 70\% ложных!»
    
Сколько ложных заявлений сделали летнешкольники?    
}
\newcommand{\soleasymath}{
Первое заявление могло быть истинным или ложным, второе будет антонимичным по верности к первому. 
Далее все заявления определяются однозначно. Тяжким трудом выписываем их, обнаруживаем период 10. 
Итого 30 истинных заявлений и 69 ложных.

Первые десять утверждений (первый соврал): 01001 00100

Первые десять утверждений (первый правдив): 10001 00100

Далее в обоих вариантах идет: 01001 00100 циклом.

Ответ: 69

Один балл за рассмотрение одного варианта. 
Один балл за наличие двух вариантов и аргумент, что начиная с третьего они совпадают.
}



\newcommand{\hardmath}{
Углы треугольника $ABC$ равны $\angle A =\pi /3$, $\angle B = \pi/4$. 
Продолжение высот треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точках $D$, $E$ и $F$.

Найди отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $DEF$.
}
\newcommand{\solhardmath}{
Обозначим $R$ — радиус окружности, 
\[
\begin{cases}
    S_{ABC} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C \\
    S_{DEF} = 2R^2 \sin D \sin E \sin F \\
\end{cases}
\]
Замечаем, что $\angle E = \pi - 2 \angle B$, $\angle D = \pi - 2 \angle A$, $\angle F = \pi - 2 \angle C$.
Отсюда 
\[
\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = \frac{\sin \pi /3 \sin \pi /4 \sin 5\pi/12}{\sin 2\pi /3 \sin \pi /2 \sin 5\pi/6} = \sqrt 2\sin (5\pi/ 12)
\]
Ответ: $(1 + \sqrt 3)/2$.

Если не доказана формула площади, то 2:0. Если формула не доказана и оппонент указал на отсутствие доказательства, 
то ставим 2:1.
}


\newcommand{\easyphys}{ % легкая для финала )
Антон Шейкин обустраивает вечерний клуб для юбилейного 45-го сезона, но у него не хватает свечей. 
Антон раздобыл одну свечку и расположил её посередине между двумя зеркалами, 
стоящими под углом $30^\circ$ друг к другу.
        
Сколько изображений свечки увидит посетитель вечернего клуба?
}

\newcommand{\soleasyphys}{
$360^\circ / n - 1 = 12 - 1 = 11$

Если обсчитался и написал 12, ставим 1 балл. 
}

\newcommand{\hardphys}{
Требушет, стоящий на плацу, выстреливает арбуз так, чтобы он приземлялся на крыльце столовой. 
В момент выстрела на арбуз верхом абсолютно неупруго садится школьница из команды $\lambda$. 
Масса школьницы в 5 раз больше массы арбуза. 
    
Какую часть пути до крыльца столовой школьнице придется идти пешком?    
}
\newcommand{\solhardphys}{
Обозначим $L_0$ — расстояние от требушета до столовой, $L_1$ — расстояние, пролетаемое арбузом со школьницей,
 массу арбуза $m$, массу школьницы $M$, $v_0$ и $v_1$ — начальные скорости.
\[
\begin{cases}
    mv_0 = (M + m)v_1     \\
    L_0 = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha \\
    L_1 = \frac{v_1^2}{g}\sin 2\alpha \\
\end{cases}
\]
Отсюда $(L_0 - L_1)/L_0 = 1 - (m/(m + M))^2 = 35/36$. 
}



\begin{document}

\textbf{TOP SECRET! Сдать задачи после разбора!}

\begin{enumerate}
\item \easymath

\soleasymath
\item \hardmath

\solhardmath
\item \easyphys

\soleasyphys
\item \hardphys

\solhardphys
\end{enumerate}


\newpage % школьный экземпляр обычных столов (обычных для финала :)
\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

\end{document} % если деления задач по столам нет