修改两个小错误

Author: fengdu78

0.math/1.CS229/1.CS229-LinearAlgebra.pdf

@@ -29,7 +29,7 @@ Ax= b
 $$
 
 $$
-\text { with } A=\left[\begin{array}{cc}{4} & {-5} \\ {-2} & {3}\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}{13} \\ {-9}\end{array}\right]
+\text { with } A=\left[\begin{array}{cc}{4} & {-5} \\ {-2} & {3}\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}{-13} \\ {9}\end{array}\right]
 $$
 
 我们可以看到，这种形式的线性方程有许多优点（比如明显地节省空间）。
@@ -252,11 +252,17 @@ $$
 如**CS229**讲义中所述，迹具有以下属性（如下所示）：
 
 - 对于矩阵$A \in \mathbb{R}^ {n \times n}$，则：$\operatorname{tr}A =\operatorname{tr}A^T$
+
 - 对于矩阵$A,B \in \mathbb{R}^ {n \times n}$，则：$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$
+
 - 对于矩阵$A \in \mathbb{R}^ {n \times n}$，$ t \in \mathbb{R}$，则：$\operatorname{tr}(tA) = t\operatorname{tr}A$.
+
 - 对于矩阵 $A$, $B$，$AB$ 为方阵, 则：$\operatorname{tr}AB = \operatorname{tr}BA$
+
 - 对于矩阵 $A$, $B$, $C$, $ABC$为方阵, 则：$\operatorname{tr}ABC = \operatorname{tr}BCA=\operatorname{tr}CAB$, 同理，更多矩阵的积也是有这个性质。
 
+作为如何证明这些属性的示例，我们将考虑上面给出的第四个属性。 假设$A \in \mathbb{R}^ {m \times n}$和$B \in \mathbb{R}^ {n \times m}$（因此$AB \in \mathbb{R}^ {m \times m}$是方阵）。 观察到$BA \in \mathbb{R}^ {n \times n}$也是一个方阵，因此对它们进行迹的运算是有意义的。 要证明$\operatorname{tr}AB = \operatorname{tr}BA$，请注意：
+
 $$
 \begin{aligned} \operatorname{tr} A B &=\sum_{i=1}^{m}(A B)_{i i}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n} A_{i j} B_{j i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} A_{i j} B_{j i}=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} B_{j i} A_{i j} \\ &=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m} B_{j i} A_{i j}\right)=\sum_{j=1}^{n}(B A)_{j j}=\operatorname{tr} B A \end{aligned}
 $$
@@ -664,7 +670,7 @@ $$
 
 这里，关键是要明确我们要区分的变量。
 在第一种情况下，我们将函数$f$与其参数$z$进行区分，然后替换参数$Ax$。
-在第二种情况下，我们将复合函数$g(x)=f(Ax)$直接与x进行微分。
+在第二种情况下，我们将复合函数$g(x)=f(Ax)$直接与$x$进行微分。
 
 我们将第一种情况表示为$\nabla zf(Ax)$，第二种情况表示为$\nabla xf(Ax)$。
 
@@ -763,7 +769,7 @@ $$
 
 让我们应用上一节中得到的方程来推导最小二乘方程。假设我们得到矩阵$A\in \mathbb{R}^{m \times n}$（为了简单起见，我们假设$A$是满秩）和向量$b\in \mathbb{R}^{m}$，从而使$b \notin \mathcal{R}(A)$。在这种情况下，我们将无法找到向量$x\in \mathbb{R}^{n}$，由于$Ax = b$，因此我们想要找到一个向量$x$，使得$Ax$尽可能接近 $b$，用欧几里德范数的平方$\|A x-b\|_{2}^{2} $来衡量。
 
-使用公式$\|x\|^{2}=x^Tx$“，我们可以得到：
+使用公式$\|x\|^{2}=x^Tx$，我们可以得到：
 
 $$
 \begin{aligned}\|A x-b\|_{2}^{2} &=(A x-b)^{T}(A x-b) \\ &=x^{T} A^{T} A x-2 b^{T} A x+b^{T} b \end{aligned}
@@ -821,7 +827,7 @@ $$
 $$
 请注意，这只是线性方程$Ax =\lambda x$。 这表明假设$x^T x = 1$，可能最大化（或最小化）$x^T Ax$的唯一点是$A$的特征向量。
 
-**线性代数已经翻译完毕，后面的概率论部分还在翻译中，请关注[github](https://github.com/fengdu78/Data-Science-Notes/tree/master/0.math)的更新，近期将更新完。**
+**线性代数和概率论都已经翻译完毕，请关注[github](https://github.com/fengdu78/Data-Science-Notes/tree/master/0.math)的更新，若有修改将在github上更新**
 
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