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true	中等	https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/2700-2799/2741.Special%20Permutations/README.md	2020	第 350 场周赛 Q3	位运算 数组 动态规划 状态压缩

2741. 特别的排列

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个 互不相同 的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

• 对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对 109 + 7 取余 后返回。

 

示例 1：

输入：nums = [2,3,6]
输出：2
解释：[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

输入：nums = [1,4,3]
输出：2
解释：[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。

 

提示：

• 2 <= nums.length <= 14
• 1 <= nums[i] <= 109

解法

方法一：状态压缩动态规划

我们注意到题目中数组的长度最大不超过 $14$，因此，我们可以用一个二进制整数来表示当前的状态，其中第 $i$ 位为 $1$ 表示数组中的第 $i$ 个数已经被选取，为 $0$ 表示数组中的第 $i$ 个数还未被选取。

我们定义 $f[i][j]$ 表示当前选取的整数状态为 $i$，且最后一个选取的整数下标为 $j$ 的方案数。初始时 $f[0][0]=0$，答案为 $\sum_{j=0}^{n-1}f[2^n-1][j]$。

考虑 $f[i][j]$，如果当前只有一个数被选取，那么 $f[i][j]=1$。否则，我们可以枚举上一个选择的数的下标 $k$，如果 $k$ 与 $j$ 对应的数满足题目要求，那么 $f[i][j]$ 可以从 $f[i \oplus 2^j][k]$ 转移而来。即：

$$ f[i][j]= \begin{cases} 1, & i=2^j\\ \sum_{k=0}^{n-1}f[i \oplus 2^j][k], & i \neq 2^j \textit{且} \textit{nums}[j] \textit{与} \textit{nums}[k] \textit{满足题目要求}\\ \end{cases} $$

最终答案即为 $\sum_{j=0}^{n-1}f[2^n-1][j]$。注意答案可能很大，需要对 $10^9+7$ 取模。

时间复杂度 $O(n^2 \times 2^n)$，空间复杂度 $O(n \times 2^n)$。其中 $n$ 为数组的长度。

Python3

class Solution:
    def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        n = len(nums)
        m = 1 << n
        f = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j, x in enumerate(nums):
                if i >> j & 1:
                    ii = i ^ (1 << j)
                    if ii == 0:
                        f[i][j] = 1
                        continue
                    for k, y in enumerate(nums):
                        if x % y == 0 or y % x == 0:
                            f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod
        return sum(f[-1]) % mod

Java

class Solution {
    public int specialPerm(int[] nums) {
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        int n = nums.length;
        int m = 1 << n;
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if ((i >> j & 1) == 1) {
                    int ii = i ^ (1 << j);
                    if (ii == 0) {
                        f[i][j] = 1;
                        continue;
                    }
                    for (int k = 0; k < n; ++k) {
                        if (nums[j] % nums[k] == 0 || nums[k] % nums[j] == 0) {
                            f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int x : f[m - 1]) {
            ans = (ans + x) % mod;
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int specialPerm(vector<int>& nums) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int n = nums.size();
        int m = 1 << n;
        int f[m][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if ((i >> j & 1) == 1) {
                    int ii = i ^ (1 << j);
                    if (ii == 0) {
                        f[i][j] = 1;
                        continue;
                    }
                    for (int k = 0; k < n; ++k) {
                        if (nums[j] % nums[k] == 0 || nums[k] % nums[j] == 0) {
                            f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int x : f[m - 1]) {
            ans = (ans + x) % mod;
        }
        return ans;
    }
};

Go

func specialPerm(nums []int) (ans int) {
	const mod int = 1e9 + 7
	n := len(nums)
	m := 1 << n
	f := make([][]int, m)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n)
	}
	for i := 1; i < m; i++ {
		for j, x := range nums {
			if i>>j&1 == 1 {
				ii := i ^ (1 << j)
				if ii == 0 {
					f[i][j] = 1
					continue
				}
				for k, y := range nums {
					if x%y == 0 || y%x == 0 {
						f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod
					}
				}
			}
		}
	}
	for _, x := range f[m-1] {
		ans = (ans + x) % mod
	}
	return
}

TypeScript

function specialPerm(nums: number[]): number {
    const mod = 1e9 + 7;
    const n = nums.length;
    const m = 1 << n;
    const f = Array.from({ length: m }, () => Array(n).fill(0));

    for (let i = 1; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            if (((i >> j) & 1) === 1) {
                const ii = i ^ (1 << j);
                if (ii === 0) {
                    f[i][j] = 1;
                    continue;
                }
                for (let k = 0; k < n; ++k) {
                    if (nums[j] % nums[k] === 0 || nums[k] % nums[j] === 0) {
                        f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return f[m - 1].reduce((acc, x) => (acc + x) % mod);
}

Rust

impl Solution {
    pub fn special_perm(nums: Vec<i32>) -> i32 {
        const MOD: i32 = 1_000_000_007;
        let n = nums.len();
        let m = 1 << n;
        let mut f = vec![vec![0; n]; m];

        for i in 1..m {
            for j in 0..n {
                if (i >> j) & 1 == 1 {
                    let ii = i ^ (1 << j);
                    if ii == 0 {
                        f[i][j] = 1;
                        continue;
                    }
                    for k in 0..n {
                        if nums[j] % nums[k] == 0 || nums[k] % nums[j] == 0 {
                            f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % MOD;
                        }
                    }
                }
            }
        }

        let mut ans = 0;
        for &x in &f[m - 1] {
            ans = (ans + x) % MOD;
        }

        ans
    }
}