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中等
数学
动态规划

1884. 鸡蛋掉落-两枚鸡蛋

English Version

题目描述

给你 2 枚相同 的鸡蛋，和一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。

已知存在楼层 f ，满足 0 <= f <= n ，任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都 会碎 ，从 f 楼层或比它低 的楼层落下的鸡蛋都 不会碎 。

每次操作，你可以取一枚 没有碎 的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。

请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少？

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：我们可以将第一枚鸡蛋从 1 楼扔下，然后将第二枚从 2 楼扔下。
如果第一枚鸡蛋碎了，可知 f = 0；
如果第二枚鸡蛋碎了，但第一枚没碎，可知 f = 1；
否则，当两个鸡蛋都没碎时，可知 f = 2。

示例 2：

输入：n = 100
输出：14
解释：
一种最优的策略是：
- 将第一枚鸡蛋从 9 楼扔下。如果碎了，那么 f 在 0 和 8 之间。将第二枚从 1 楼扔下，然后每扔一次上一层楼，在 8 次内找到 f 。总操作次数 = 1 + 8 = 9 。
- 如果第一枚鸡蛋没有碎，那么再把第一枚鸡蛋从 22 层扔下。如果碎了，那么 f 在 9 和 21 之间。将第二枚鸡蛋从 10 楼扔下，然后每扔一次上一层楼，在 12 次内找到 f 。总操作次数 = 2 + 12 = 14 。
- 如果第一枚鸡蛋没有再次碎掉，则按照类似的方法从 34, 45, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97, 99 和 100 楼分别扔下第一枚鸡蛋。
不管结果如何，最多需要扔 14 次来确定 f 。

 

提示：

  • 1 <= n <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示有两枚鸡蛋，在 $i$ 层楼中确定 $f$ 的最小操作次数。初始时 $f[0] = 0$，其余 $f[i] = +\infty$。答案为 $f[n]$。

考虑 $f[i]$，我们可以枚举第一枚鸡蛋从第 $j$ 层楼扔下，其中 $1 \leq j \leq i$，此时有两种情况：

  • 鸡蛋碎了，此时我们剩余一枚鸡蛋，需要在 $j - 1$ 层楼中确定 $f$，这需要 $j - 1$ 次操作，因此总操作次数为 $1 + (j - 1)$；
  • 鸡蛋没碎，此时我们剩余两枚鸡蛋，需要在 $i - j$ 层楼中确定 $f$，这需要 $f[i - j]$ 次操作，因此总操作次数为 $1 + f[i - j]$。

综上，我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i] = \min_{1 \leq j \leq i} {1 + \max(j - 1, f[i - j])} $$

最后，我们返回 $f[n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为楼层数。

Python3

class Solution:
    def twoEggDrop(self, n: int) -> int:
        f = [0] + [inf] * n
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                f[i] = min(f[i], 1 + max(j - 1, f[i - j]))
        return f[n]

Java

class Solution {
    public int twoEggDrop(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, 1 << 29);
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                f[i] = Math.min(f[i], 1 + Math.max(j - 1, f[i - j]));
            }
        }
        return f[n];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int twoEggDrop(int n) {
        int f[n + 1];
        memset(f, 0x3f, sizeof(f));
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                f[i] = min(f[i], 1 + max(j - 1, f[i - j]));
            }
        }
        return f[n];
    }
};

Go

func twoEggDrop(n int) int {
	f := make([]int, n+1)
	for i := range f {
		f[i] = 1 << 29
	}
	f[0] = 0
	for i := 1; i <= n; i++ {
		for j := 1; j <= i; j++ {
			f[i] = min(f[i], 1+max(j-1, f[i-j]))
		}
	}
	return f[n]
}

TypeScript

function twoEggDrop(n: number): number {
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(Infinity);
    f[0] = 0;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j <= i; ++j) {
            f[i] = Math.min(f[i], 1 + Math.max(j - 1, f[i - j]));
        }
    }
    return f[n];
}