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困难
1786
第 30 场双周赛 Q4
数学
动态规划
博弈

1510. 石子游戏 IV

English Version

题目描述

Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏，Alice 先手。

一开始，有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作，正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。

如果石子堆里没有石子了，则无法操作的玩家输掉游戏。

给你正整数 n ，且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛，那么返回 True ，否则返回 False 。

 

示例 1：

输入：n = 1
输出：true
解释：Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利，因为 Bob 无法进行任何操作。

示例 2：

输入：n = 2
输出：false
解释：Alice 只能拿走 1 个石子，然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（2 -> 1 -> 0）。

示例 3：

输入：n = 4
输出：true
解释：n 已经是一个平方数，Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利（4 -> 0）。

示例 4：

输入：n = 7
输出：false
解释：当 Bob 采取最优策略时，Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子， Bob 会拿走 1 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0）。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子， Bob 会拿走 4 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0）。

示例 5：

输入：n = 17
输出：false
解释：如果 Bob 采取最优策略，Alice 无法赢得胜利。

 

提示：

  • 1 <= n <= 10^5

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时，当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛，则返回 $true$，否则返回 $false$。那么答案即为 $dfs(n)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

  • 如果 $i \leq 0$，说明当前玩家无法进行任何操作，因此当前玩家输掉比赛，返回 $false$；
  • 否则，枚举当前玩家可以拿走的石子数量 $j$，其中 $j$ 为平方数，如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后，另一个玩家无法赢得比赛，则当前玩家赢得比赛，返回 $true$。如果枚举完所有的 $j$，都无法满足上述条件，则当前玩家输掉比赛，返回 $false$。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i)$ 的计算结果。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

Python3

class Solution:
    def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
        @cache
        def dfs(i: int) -> bool:
            if i == 0:
                return False
            j = 1
            while j * j <= i:
                if not dfs(i - j * j):
                    return True
                j += 1
            return False

        return dfs(n)

Java

class Solution {
    private Boolean[] f;

    public boolean winnerSquareGame(int n) {
        f = new Boolean[n + 1];
        return dfs(n);
    }

    private boolean dfs(int i) {
        if (i <= 0) {
            return false;
        }
        if (f[i] != null) {
            return f[i];
        }
        for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
            if (!dfs(i - j * j)) {
                return f[i] = true;
            }
        }
        return f[i] = false;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool winnerSquareGame(int n) {
        int f[n + 1];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        function<bool(int)> dfs = [&](int i) -> bool {
            if (i <= 0) {
                return false;
            }
            if (f[i] != 0) {
                return f[i] == 1;
            }
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!dfs(i - j * j)) {
                    f[i] = 1;
                    return true;
                }
            }
            f[i] = -1;
            return false;
        };
        return dfs(n);
    }
};

Go

func winnerSquareGame(n int) bool {
	f := make([]int, n+1)
	var dfs func(int) bool
	dfs = func(i int) bool {
		if i <= 0 {
			return false
		}
		if f[i] != 0 {
			return f[i] == 1
		}
		for j := 1; j <= i/j; j++ {
			if !dfs(i - j*j) {
				f[i] = 1
				return true
			}
		}
		f[i] = -1
		return false
	}
	return dfs(n)
}

TypeScript

function winnerSquareGame(n: number): boolean {
    const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
    const dfs = (i: number): boolean => {
        if (i <= 0) {
            return false;
        }
        if (f[i] !== 0) {
            return f[i] === 1;
        }
        for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
            if (!dfs(i - j * j)) {
                f[i] = 1;
                return true;
            }
        }
        f[i] = -1;
        return false;
    };
    return dfs(n);
}

方法二：动态规划

我们也可以使用动态规划求解本题。

定义数组 $f$，其中 $f[i]$ 表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时，当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛，则 $f[i]$ 为 $true$，否则为 $false$。那么答案即为 $f[n]$。

我们在 $[1,..n]$ 的范围内枚举 $i$，并在 $[1,..i]$ 的范围内枚举 $j$，其中 $j$ 为平方数，如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后，另一个玩家无法赢得比赛，则当前玩家赢得比赛，即 $f[i] = true$。如果枚举完所有的 $j$，都无法满足上述条件，则当前玩家输掉比赛，即 $f[i] = false$。因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i]= \begin{cases} true, & \textit{if } \exists j \in [1,..i], j^2 \leq i \textit{ and } f[i-j^2] = false\\ false, & \textit{otherwise} \end{cases} $$

最后，我们返回 $f[n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

Python3

class Solution:
    def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
        f = [False] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            j = 1
            while j <= i // j:
                if not f[i - j * j]:
                    f[i] = True
                    break
                j += 1
        return f[n]

Java

class Solution {
    public boolean winnerSquareGame(int n) {
        boolean[] f = new boolean[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!f[i - j * j]) {
                    f[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool winnerSquareGame(int n) {
        bool f[n + 1];
        memset(f, false, sizeof(f));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!f[i - j * j]) {
                    f[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
};

Go

func winnerSquareGame(n int) bool {
	f := make([]bool, n+1)
	for i := 1; i <= n; i++ {
		for j := 1; j <= i/j; j++ {
			if !f[i-j*j] {
				f[i] = true
				break
			}
		}
	}
	return f[n]
}

TypeScript

function winnerSquareGame(n: number): boolean {
    const f: boolean[] = new Array(n + 1).fill(false);
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
            if (!f[i - j * j]) {
                f[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    return f[n];
}