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困难
2014
第 176 场周赛 Q4
数组
堆（优先队列）

1354. 多次求和构造目标数组

English Version

题目描述

给你一个整数数组 target 。一开始，你有一个数组 A ，它的所有元素均为 1 ，你可以执行以下操作：

  • 令 x 为你数组里所有元素的和
  • 选择满足 0 <= i < target.size 的任意下标 i ，并让 A 数组里下标为 i 处的值为 x 。
  • 你可以重复该过程任意次

如果能从 A 开始构造出目标数组 target ，请你返回 True ，否则返回 False 。

 

示例 1：

输入：target = [9,3,5]
输出：true
解释：从 [1, 1, 1] 开始
[1, 1, 1], 和为 3 ，选择下标 1
[1, 3, 1], 和为 5， 选择下标 2
[1, 3, 5], 和为 9， 选择下标 0
[9, 3, 5] 完成

示例 2：

输入：target = [1,1,1,2]
输出：false
解释：不可能从 [1,1,1,1] 出发构造目标数组。

示例 3：

输入：target = [8,5]
输出：true

 

提示：

  • N == target.length
  • 1 <= target.length <= 5 * 10^4
  • 1 <= target[i] <= 10^9

解法

方法一：逆向构造 + 优先队列（大根堆）

我们发现，如果从数组 $arr$ 开始正向构造目标数组 $target$，每次都不好确定选择哪个下标 $i$，问题比较复杂。而如果我们从数组 $target$ 开始逆向构造，每次构造都一定是选择当前数组中最大的元素，这样就可以保证每次构造都是唯一的，问题比较简单。

因此，我们可以使用优先队列（大根堆）来存储数组 $target$ 中的元素，用一个变量 $s$ 记录数组 $target$ 中所有元素的和。每次从优先队列中取出最大的元素 $mx$，计算当前数组中除 $mx$ 以外的所有元素之和 $t$，如果 $t \lt 1$ 或者 $mx - t \lt 1$，则说明无法构造目标数组 $target$，返回 false。否则，我们计算 $mx \bmod t$，如果 $mx \bmod t = 0$，则令 $x = t$，否则令 $x = mx \bmod t$，将 $x$ 加入优先队列中，并更新 $s$ 的值，重复上述操作，直到优先队列中的所有元素都变为 $1$，此时返回 true。

时间复杂度 $O(n \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $target$ 的长度。

Python3

class Solution:
    def isPossible(self, target: List[int]) -> bool:
        s = sum(target)
        pq = [-x for x in target]
        heapify(pq)
        while -pq[0] > 1:
            mx = -heappop(pq)
            t = s - mx
            if t == 0 or mx - t < 1:
                return False
            x = (mx % t) or t
            heappush(pq, -x)
            s = s - mx + x
        return True

Java

class Solution {
    public boolean isPossible(int[] target) {
        PriorityQueue<Long> pq = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());
        long s = 0;
        for (int x : target) {
            s += x;
            pq.offer((long) x);
        }
        while (pq.peek() > 1) {
            long mx = pq.poll();
            long t = s - mx;
            if (t == 0 || mx - t < 1) {
                return false;
            }
            long x = mx % t;
            if (x == 0) {
                x = t;
            }
            pq.offer(x);
            s = s - mx + x;
        }
        return true;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool isPossible(vector<int>& target) {
        priority_queue<int> pq;
        long long s = 0;
        for (int i = 0; i < target.size(); i++) {
            s += target[i];
            pq.push(target[i]);
        }
        while (pq.top() != 1) {
            int mx = pq.top();
            pq.pop();
            long long t = s - mx;
            if (t < 1 || mx - t < 1) {
                return false;
            }
            int x = mx % t;
            if (x == 0) {
                x = t;
            }
            pq.push(x);
            s = s - mx + x;
        }
        return true;
    }
};

Go

func isPossible(target []int) bool {
	pq := &hp{target}
	s := 0
	for _, x := range target {
		s += x
	}
	heap.Init(pq)
	for target[0] > 1 {
		mx := target[0]
		t := s - mx
		if t < 1 || mx-t < 1 {
			return false
		}
		x := mx % t
		if x == 0 {
			x = t
		}
		target[0] = x
		heap.Fix(pq, 0)
		s = s - mx + x
	}
	return true
}

type hp struct{ sort.IntSlice }

func (h hp) Less(i, j int) bool { return h.IntSlice[i] > h.IntSlice[j] }
func (hp) Pop() (_ any)         { return }
func (hp) Push(any)             {}

TypeScript

function isPossible(target: number[]): boolean {
    const pq = new MaxPriorityQueue();
    let s = 0;
    for (const x of target) {
        s += x;
        pq.enqueue(x);
    }
    while (pq.front().element > 1) {
        const mx = pq.dequeue().element;
        const t = s - mx;
        if (t < 1 || mx - t < 1) {
            return false;
        }
        const x = mx % t || t;
        pq.enqueue(x);
        s = s - mx + x;
    }
    return true;
}