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困难
数学
二分查找

793. 阶乘函数后 K 个零

English Version

题目描述

 f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1 。

  • 例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。

给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。

 

示例 1： 

输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。

示例 2：

输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。

示例 3:

输入: k = 3
输出: 5

 

提示:

  • 0 <= k <= 109

解法

方法一：二分查找

定义 $f(x)$ 为 $x!$ 末尾零的个数，那么

$$ f(x)= \begin{cases} 0, x=0\\ x/5+f(x/5), x>0 \end{cases} $$

定义 $g(k)$ 表示 $x!$ 末尾为零的个数为 $k$ 的最小的 $x$ 值，那么题目等价于求解 $g(k+1)-g(k)$。

由于 $g(k)$ 是单调递增的，因此可以使用二分查找求解 $g(k)$。

同时，由于 $f(x)=x/5+f(x/5) \ge x/5$，因此 $f(5k)\ge k$。所以，求解 $g(k)$ 时，二分的右边界可以取 $5k$。

时间复杂度 $O(log^2k)$，其中 $k$ 为题目给定的整数。二分查找 $g(k)$ 的时间复杂度为 $O(logk)$，计算 $f(x)$ 的时间复杂度为 $O(logx)$，因此总时间复杂度为 $O(log^2k)$。

Python3

class Solution:
    def preimageSizeFZF(self, k: int) -> int:
        def f(x):
            if x == 0:
                return 0
            return x // 5 + f(x // 5)

        def g(k):
            return bisect_left(range(5 * k), k, key=f)

        return g(k + 1) - g(k)

Java

class Solution {
    public int preimageSizeFZF(int k) {
        return g(k + 1) - g(k);
    }

    private int g(int k) {
        long left = 0, right = 5 * k;
        while (left < right) {
            long mid = (left + right) >> 1;
            if (f(mid) >= k) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return (int) left;
    }

    private int f(long x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        return (int) (x / 5) + f(x / 5);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int preimageSizeFZF(int k) {
        return g(k + 1) - g(k);
    }

    int g(int k) {
        long long left = 0, right = 1ll * 5 * k;
        while (left < right) {
            long long mid = (left + right) >> 1;
            if (f(mid) >= k) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return (int) left;
    }

    int f(long x) {
        int res = 0;
        while (x) {
            x /= 5;
            res += x;
        }
        return res;
    }
};

Go

func preimageSizeFZF(k int) int {
	f := func(x int) int {
		res := 0
		for x != 0 {
			x /= 5
			res += x
		}
		return res
	}

	g := func(k int) int {
		left, right := 0, k*5
		for left < right {
			mid := (left + right) >> 1
			if f(mid) >= k {
				right = mid
			} else {
				left = mid + 1
			}
		}
		return left
	}

	return g(k+1) - g(k)
}