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中等
数学
动态规划

650. 两个键的键盘

English Version

题目描述

最初记事本上只有一个字符 'A' 。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

  • Copy All（复制全部）：复制这个记事本中的所有字符（不允许仅复制部分字符）。
  • Paste（粘贴）：粘贴 上一次 复制的字符。

给你一个数字 n ，你需要使用最少的操作次数，在记事本上输出 恰好 n 个 'A' 。返回能够打印出 n 个 'A' 的最少操作次数。

 

示例 1：

输入：3
输出：3
解释：
最初, 只有一个字符 'A'。
第 1 步, 使用 Copy All 操作。
第 2 步, 使用 Paste 操作来获得 'AA'。
第 3 步, 使用 Paste 操作来获得 'AAA'。

示例 2：

输入：n = 1
输出：0

 

提示：

  • 1 <= n <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

定义 $dfs(i)$ 为输出 $i$ 个字符的最少操作次数。初始化 dfs(1)=0。

当 $i\gt 1$ 时，有：

$$ dfs(i)=\min _{j \mid i} (dfs(\frac{i}{j})+j, i), 2\leq j\lt i $$

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

Python3

class Solution:
    def minSteps(self, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(n):
            if n == 1:
                return 0
            i, ans = 2, n
            while i * i <= n:
                if n % i == 0:
                    ans = min(ans, dfs(n // i) + i)
                i += 1
            return ans

        return dfs(n)

Java

class Solution {
    private int[] f;

    public int minSteps(int n) {
        f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, -1);
        return dfs(n);
    }

    private int dfs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 0;
        }
        if (f[n] != -1) {
            return f[n];
        }
        int ans = n;
        for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                ans = Math.min(ans, dfs(n / i) + i);
            }
        }
        f[n] = ans;
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<int> f;

    int minSteps(int n) {
        f.assign(n + 1, -1);
        return dfs(n);
    }

    int dfs(int n) {
        if (n == 1) return 0;
        if (f[n] != -1) return f[n];
        int ans = n;
        for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                ans = min(ans, dfs(n / i) + i);
            }
        }
        f[n] = ans;
        return ans;
    }
};

Go

func minSteps(n int) int {
	f := make([]int, n+1)
	for i := range f {
		f[i] = -1
	}
	var dfs func(int) int
	dfs = func(n int) int {
		if n == 1 {
			return 0
		}
		if f[n] != -1 {
			return f[n]
		}
		ans := n
		for i := 2; i*i <= n; i++ {
			if n%i == 0 {
				ans = min(ans, dfs(n/i)+i)
			}
		}
		return ans
	}
	return dfs(n)
}

方法二：动态规划

记忆化搜索也可以改成动态规划。

$$ dp[i]=\min _{j \mid i} (dp[\frac{i}{j}]+j, i), 2\leq j\lt i $$

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

Python3

class Solution:
    def minSteps(self, n: int) -> int:
        dp = list(range(n + 1))
        dp[1] = 0
        for i in range(2, n + 1):
            j = 2
            while j * j <= i:
                if i % j == 0:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i // j] + j)
                j += 1
        return dp[-1]

Java

class Solution {
    public int minSteps(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; ++i) {
            dp[i] = i;
        }
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
            for (int j = 2; j * j <= i; ++j) {
                if (i % j == 0) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / j] + j);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        iota(dp.begin(), dp.end(), 0);
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
            for (int j = 2; j * j <= i; ++j) {
                if (i % j == 0) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i / j] + j);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

Go

func minSteps(n int) int {
	dp := make([]int, n+1)
	for i := range dp {
		dp[i] = i
	}
	dp[1] = 0
	for i := 2; i < n+1; i++ {
		for j := 2; j*j <= i; j++ {
			if i%j == 0 {
				dp[i] = min(dp[i], dp[i/j]+j)
			}
		}
	}
	return dp[n]
}

TypeScript

function minSteps(n: number): number {
    const dp = Array(n + 1).fill(1000);
    dp[1] = 0;

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        for (let j = 1, half = i / 2; j <= half; j++) {
            if (i % j === 0) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + i / j);
            }
        }
    }

    return dp[n];
}

JavaScript

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var minSteps = function (n) {
    const dp = Array(n + 1).fill(1000);
    dp[1] = 0;

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        for (let j = 1, half = i / 2; j <= half; j++) {
            if (i % j === 0) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + i / j);
            }
        }
    }

    return dp[n];
};

方法三

Java

class Solution {
    public int minSteps(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 2; n > 1; ++i) {
            while (n % i == 0) {
                res += i;
                n /= i;
            }
        }
        return res;
    }
}