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Análisis estadístico de los cuantiles del a_w

Debido a la variabilidad de los productos, es prácticamente imposible asegurar que ningún producto dentro de un lote tenga un a_w superior al admisible (p.ej. el a_w que permita el crecimiento de Listeria). Por ello, en el contexto del análisis de riesgo, es importante conocer la probabilidad de que un producto tenga un a_w superior al límite.

Esta herramienta permite estimar, en base a una serie de mediciones, la proporción de muestras con un a_w superior al admisible. El cálculo está basado en la hipótesis de que el a_w de las muestras sigue una distribución normal con varianza y media desconocidas (ver Detalles del análisis estadístico).

Descripción de los parámetros

• aw medio: media del a_w medido en todas las muestras (calculado como PROMEDIO en Excel).
• Desv. standard del aw: desviación estandard de las medidas (calculado como DESVEST en Excel).
• Número de medidas: número de muestras analizadas.
• aw máximo admisible: a_w definido como máximo admisible (p.ej. para Listeria el a_w máximo admisible para crecimiento es 0,92).

Resultados

Los resultados reportados son:

• La proporción estimada de muestras con un a_w superior a la admisible.
• El número de muestras con un a_w superior al límite por cada mil productos.
• Un gráfico de densidad de probabilidad para la proporción de muestras con un a_w superior al admisible.

Detalles del análisis estadístico

Sea X una variable aleatoria con un media μ y varianza σ², ambas desconocidas. Una muestra aleatoria X₁, X₂, ..., X_n de tamaño n de X cumple las siguientes propiedades:

• $\bar{X} = \sum_{i=1}^n{X_i}$ y $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n{(X_i - \bar{X})^2}}{n-1}$ son independientes.
• el cociente (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ_n − 1².
• el cociente $\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt(n)}$ sigue una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad.

A traves del muestreo intentamos estimar ambas variables, la media muestral y su varianza. Por lo tanto, a la hora de estimar la proporción de muestras con un a_w superior al límite, la incertidumbre en la estimación de ambas variables se debe de tener en cuenta. Esta herramienta utiliza simulaciones de Monte Carlo para ello:

1. Se generan 2000 valores aleatorios de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad (t_i; i = 1, ..., 2000).
2. Se genera una muestra de la media $\mu_i = \frac{t_i \cdot s}{\sqrt{n}} + \bar{X}$.
3. Se generan 2000 valores aleatorios de una distribución χ² con n − 1 grados de libertad (χ_i²; i = 1, ..., 2000).
4. Se simula la varianza como $\sigma^2_i = (n-1) \frac{s^2}{\chi^2_{i}}$.
5. Para cada par μ_i, σ_i² se genera una muestra de 5000 valores aleatorios de acuerdo a una distribución normal con parámetros μ_i, σ_i².
6. De la muestra aleatoria simulada, se comprueba cuántos tienen un a_w superior al límite (n_pos) y cuantos no (n_net).
7. La proporción de productos con un a_w superior al límite se estima como $\frac{n_{pos}}{n_{pos} + n_{neg}}$.