help_aw_quantiles.Rmd

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title: "Untitled"
author: "Alberto"
date: "28/5/2019"
output: md_document
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## Análisis estadístico de los cuantiles del $a_w$

Debido a la variabilidad de los productos, es prácticamente imposible asegurar que ningún producto dentro de un lote tenga un $a_w$ superior al admisible (p.ej. el $a_w$ que permita el crecimiento de *Listeria*). Por ello, en el contexto del análisis de riesgo, es importante conocer la probabilidad de que un producto tenga un $a_w$ superior al límite.

Esta herramienta permite estimar, en base a una serie de mediciones, la proporción de muestras con un $a_w$ superior al admisible. El cálculo está basado en la hipótesis de que el $a_w$ de las muestras sigue una distribución normal con varianza y media desconocidas (ver **Detalles del análisis estadístico**).

## Descripción de los parámetros

- **aw medio**: media del $a_w$ medido en todas las muestras (calculado como PROMEDIO en Excel).
- **Desv. standard del aw**: desviación estandard de las medidas (calculado como DESVEST en Excel).
- **Número de medidas**: número de muestras analizadas.
- **aw máximo admisible**: $a_w$ definido como máximo admisible (p.ej. para *Listeria* el $a_w$ máximo admisible para crecimiento es 0,92).

## Resultados

Los resultados reportados son:

- La proporción estimada de muestras con un $a_w$ superior a la admisible.
- El número de muestras con un $a_w$ superior al límite por cada mil productos.
- Un gráfico de densidad de probabilidad para la proporción de muestras con un $a_w$ superior al admisible.

## Detalles del análisis estadístico

Sea $X$ una variable aleatoria con un media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, ambas desconocidas. Una muestra aleatoria $X_1, X_2,...,X_n$ de tamaño $n$ de $X$ cumple las siguientes propiedades:

- $\bar{X} = \sum_{i=1}^n{X_i}$ y $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n{(X_i - \bar{X})^2}}{n-1}$ son independientes.
- el cociente $(n-1)s^2/\sigma^2$ sigue una distribución $\chi^2_{n-1}$.
- el cociente $\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt(n)}$ sigue una distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad.

A traves del muestreo intentamos estimar ambas variables, la media muestral y su varianza. Por lo tanto, a la hora de estimar la proporción de muestras con un $a_w$ superior al límite, la incertidumbre en la estimación de ambas variables se debe de tener en cuenta. Esta herramienta utiliza simulaciones de Monte Carlo para ello:

1. Se generan 2000 valores aleatorios de una distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad ($t_i; i=1,...,2000$).
2. Se genera una muestra de la media $\mu_i = \frac{t_i \cdot s}{\sqrt{n}} + \bar{X}$.
3. Se generan 2000 valores aleatorios de una distribución $\chi^2$ con $n-1$ grados de libertad ($\chi^2_i; i = 1,...,2000$).
4. Se simula la varianza como $\sigma^2_i = (n-1) \frac{s^2}{\chi^2_{i}}$.
5. Para cada par ${ \mu_i, \sigma^2_i}$ se genera una muestra de 5000 valores aleatorios de acuerdo a una distribución normal con parámetros ${ \mu_i, \sigma^2_i}$.
6. De la muestra aleatoria simulada, se comprueba cuántos tienen un $a_w$ superior al límite ($n_{pos}$) y cuantos no ($n_{net}$).
7. La proporción de productos con un $a_w$ superior al límite se estima como $\frac{n_{pos}}{n_{pos} + n_{neg}}$.