forked from nomeata/mitschriebwiki
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathAngDiffGeo2013.tex
5363 lines (4727 loc) · 252 KB
/
AngDiffGeo2013.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
% Skript Angewandte Differentialgeometrie im Sommersemester 2013
% Zur Vorlesung von Dr. Grensing am KIT in Karlsruhe
\documentclass[paper=A4, twoside, chapterprefix=true, bibliography=totoc, headsepline]{scrbook}
%========================================================================================================================
% P R AE A M B E L
%========================================================================================================================
% Meta-Daten fuer Latexki
\usepackage{latexki}
\lecturer{Dr. Sebastian Grensing}
\semester{Sommersemester 13}
\scriptstate{complete}
% Abstand zwischen zwei Textbloecken
\setlength\parskip{\smallskipamount}
% Nummerierung der Paragraphen anpassen (sonst kommt etwas wie "Definition 2.9.1" heraus)
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
% Aendert die Kapitelbeschriftung in der Kopfzeile der linken Seiten
\renewcommand*{\chaptermarkformat}{\chapappifchapterprefix{\ }\thechapter:\enskip}
\renewcommand*{\sectionmarkformat}{\thesection\autodot\enskip}
% Einheitliche Schriftart (KOMA Script verwendet fuer einige Ueberschriften eine serifenlose Schrift, mischt also
% Schriftarten. Ich habe mir die Argumente dafuer durchgelsen und war nicht ueberzeugt. Wenn jemand, der mehr als
% ich von der Materie versteht, anderer Meinung ist kann er diese Zeilen hier einfach auskommentieren)
\setkomafont{chapter}{\Huge\bfseries\rmfamily}
\setkomafont{chapterentry}{\bfseries\rmfamily}
\setkomafont{disposition}{\bfseries\rmfamily}
\setkomafont{descriptionlabel}{\bfseries\rmfamily}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[top=2.5cm, bottom=3cm, left=2.5cm, right=4.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} % erlaubt mehr Optionen in Kopf- und Fusszeile
\usepackage{xcolor} % Farben
\usepackage{marginnote} % Randnotizen
\usepackage{enumitem} % Fuer mehr Einstellungmoeglichkeiten bei Aufzaehlungen
\usepackage{xifthen} % Erlaubt die Verwendung von if-then-else Befehlen im Code
\usepackage{xspace} % intelligente Leerzeichen bei Macros
\usepackage{units} % schoenere Schreibweise fuer Einheiten mit Bruechen, laedt auch das nicefrac Paket
% Mathe Pakete
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{wasysym} % noch mehr symbole
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bm} % fette Mathe Zeichen
\usepackage{mathtools} % zusaetzliche Mathe Befehle (zusaetzlich zu AMS Math)
\usepackage[hyperref,amsmath,thmmarks,thref]{ntheorem} % Mathe Theoreme
\usepackage{index} % Index erzeugen
\newindex{default}{idx}{ind}{Stichwortverzeichnis}
\usepackage[toc]{glossaries} % Symbolverzeichnis
\glossarystyle{treehypergroup}
\makeglossaries
\usepackage[hyperindex=true]{hyperref} % Verweise als Hyperlinks
\definecolor{rltred}{rgb}{0.75,0,0}
\definecolor{rltgreen}{rgb}{0,0.5,0}
\definecolor{rltblue}{rgb}{0,0,0.75}
\hypersetup{
pdftitle={Angewandte Differentialgeometrie Dr. Grensing},
pdfsubject={Angewandte Differentialgeometrie Geometrie},
pdfkeywords={Angewandte Differentialgeometrie Grensing},
pdfproducer={pdfLaTeX},
pdfpagemode={UseOutlines},
colorlinks=true,
bookmarksopen=true,
bookmarksnumbered=true,
urlcolor=rltblue,
filecolor=rltgreen,
linkcolor=rltblue,
backref=true,
pagebackref=true,
pdfpagemode=None,
citecolor=rltblue
}
% vertausche die Theta, Phi, Rho und Epsilon mit ihren "var" Versionen
%\newcommand{\swapcmd}[2]{
% \let\temp\#1
% \left\#1\#2
% \let\#2\temp
%}
\let\temp\phi
\let\phi\varphi
\let\varphi\temp
\let\temp\theta
\let\theta\vartheta
\let\vartheta\temp
\let\temp\epsilon
\let\epsilon\varepsilon
\let\varepsilon\temp
\let\temp\rho
\let\rho\varrho
\let\varrho\temp
% Fuer Zeichnungen in TikZ
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix,arrows,calc,intersections, through, positioning, patterns, decorations.text, decorations.pathmorphing, decorations.markings, decorations.pathreplacing}
\usepackage{float} % Floater Elemente
% neue Befehle fuer haeufig benutzte TikZ Formen; erstes Argument steht fuer die Position, Zweites fuer die Groesse
\newcommand{\tikzgitter}[3][0.25]{ %Hilfsgitter, das optionale Argument steht fuer die kleine Maschenweite, die Grosse ist doppelt so gross
\draw[step=#1,gray!15] #2 grid #3;
\draw[step=2*#1,gray!30] #2 grid #3;
\fill (0,0) circle(0.1);
}
\newcommand{\tikztorus}[2][1]{
% \tikzgitter{(-6,-1)}{(6,5)}
% zuerst die aeussere Ellipse
\draw[] #2 ellipse (#1*2 and #1*1);
% dann das Loch
\begin{scope}
\clip ($#2 - #1*(1, 0.5)$) rectangle ($#2 + #1*(1, 1)$);
\path[draw,name path=gkreis] ($#2 + #1*(0,0.75)$) ellipse (#1*1.25 and #1*1);
\end{scope}
\path[name path=kkreis] ($#2 - #1*(0,0.5)$) ellipse (#1*1 and #1*0.75);
\path[name intersections={of=gkreis and kkreis}];
\begin{scope}
\clip (intersection-1) rectangle ($(intersection-2)+(0,0.5)$);
\draw ($#2 - #1*(0,0.5)$) ellipse (#1*1 and #1*0.75);
\end{scope}
% definiere Werte auf die wir in der restlichen Zeichnung zurueckgreifen koennen
\def\torusbreite{#1*2}
\def\torushoehe{#1*1}
\def\torusdicke{#1*0.75}
\coordinate (torusUntenLoch) at ($#2 - #1*(0,0.25)$);
\coordinate (torusUnten) at ($#2 - #1*(0,1)$);
}
% --- Mathe Symbole ---
% canonic sets
\DeclareMathOperator{\B}{\mathbb{B}} % unit ball
\DeclareMathOperator{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\N}{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}
\DeclareMathOperator{\Z}{\mathbb{Z}}
% Redeclare \P (Prim or Propability) and put the old, reversed "breakline P" in \BreakLineP
\let\BreakLineP\P
\renewcommand{\P}{\ensuremath{\mathbb{P}}}
% das ungarische H umdefinieren
\let\umlautsH\H % long Hungarian umlaut (double acute)
\renewcommand{\H}{\ensuremath{\mathbb{H}}}
% das Paragraphenzeichen umdefinieren
\let\ParagraphS\S
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
% geschwungene Buchstaben
\DeclareMathOperator{\calA}{{\mathcal{A}}}
\DeclareMathOperator{\calB}{{\mathcal{B}}}
\DeclareMathOperator{\calC}{{\mathcal{C}}}
\DeclareMathOperator{\calE}{{\mathcal{E}}}
\DeclareMathOperator{\calG}{{\mathcal{G}}}
\DeclareMathOperator{\calI}{{\mathcal{I}}}
\DeclareMathOperator{\calJ}{{\mathcal{J}}}
\DeclareMathOperator{\calL}{{\mathcal{L}}}
\DeclareMathOperator{\calN}{{\mathcal{N}}}
\DeclareMathOperator{\calV}{{\mathcal{V}}}
\newcommand{\A}{\calA}
\newcommand{\E}{\calE}
\newcommand{\G}{\calG}
\newcommand{\V}{\calV}
% common mathematical operators and sets
\DeclareMathOperator{\ad}{ad}
\DeclareMathOperator{\aff}{aff} % affine Huelle
\DeclareMathOperator{\const}{const} % allgemeiner Cosinus
\DeclareMathOperator{\conv}{conv} % konvexe Huelle
\DeclareMathOperator{\convo}{\stackrel{\circ}{\conv}} % konvexe Huelle
\DeclareMathOperator{\cs}{cs} % allgemeiner Cosinus
\DeclareMathOperator{\ct}{ct} % allgemeiner Cotangens
\DeclareMathOperator{\diam}{diam} % diameter
\DeclareMathOperator{\dist}{dist} % distance
\DeclareMathOperator{\dR}{dR} % deRahm
\DeclareMathOperator{\eukl}{eukl} % euklidisch
\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} % goesster gemeinsamer Teiler
\DeclareMathOperator{\id}{id} % identity
\DeclareMathOperator{\ind}{ind} % Index
\DeclareMathOperator{\inh}{inh} % Inhalt
\DeclareMathOperator{\grad}{grad} % Gradient
\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV} % kleinstes gemeinsames Vielfaches
\DeclareMathOperator{\lk}{lk} % Link
\DeclareMathOperator{\mmod}{mod} % modulo
\DeclareMathOperator{\mspan}{span} % Lineare Huelle
\DeclareMathOperator{\n}{n} % Umlaufzahl
\DeclareMathOperator{\offen}{offen}
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
\DeclareMathOperator{\proj}{proj}
\DeclareMathOperator{\res}{res} % Residuum
\DeclareMathOperator{\se}{se}
\DeclareMathOperator{\so}{so}
\DeclareMathOperator{\rg}{rg} % rank (i)
\DeclareMathOperator{\ric}{ric} % Ricci Tensor
\DeclareMathOperator{\scal}{scal} % Skalarkruemmung
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} % Signum
\DeclareMathOperator{\sign}{sign} % Signum
\DeclareMathOperator{\sn}{sn} % allgemeiner Sinus
\DeclareMathOperator{\spur}{spur} % Spur
\DeclareMathOperator{\supp}{supp} % support
\DeclareMathOperator{\sternf}{sternf}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr} % Spur
\DeclareMathOperator{\vol}{vol} % Volumen
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb} % maps
\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} % automorphisms
\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
\DeclareMathOperator{\CAT}{CAT}
\DeclareMathOperator{\Charakteristik}{char}
\DeclareMathOperator{\Charakt}{char}
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\D}{D} % Jacobi matrix or derivative
\DeclareMathOperator{\Der}{Der}
\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}
\DeclareMathOperator{\Ee}{E}
\DeclareMathOperator{\End}{End} % endomorphisms
\DeclareMathOperator{\Gl}{GL} % general linear group
\DeclareMathOperator{\GL}{GL} % general linear group
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\Graph}{Graph}
\DeclareMathOperator{\Hh}{H} % Hessesche
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} % homomorphisms
\DeclareMathOperator{\Id}{id} % identity
\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind} % Index
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn} % Untergruppe der inneren Automorphismen
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
\DeclareMathOperator{\Kern}{Kern}
\DeclareMathOperator{\Oo}{O} % Matrizen sie mit ihrer Transponierten multipiziert die Einheitsmatrix ergeben
\DeclareMathOperator{\Pin}{Pin}
\DeclareMathOperator{\Relation}{\scriptstyle\mathrm{R}} % custom Relation
\DeclareMathOperator{\Ric}{Ric} % Ricci Tensor field
\DeclareMathOperator{\Rang}{Rang} % rank (ii)
\DeclareMathOperator{\SE}{SE}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL} % Matrizen mit Deteminante 1
\DeclareMathOperator{\SO}{SO} % Matrizen mit Deteminante 1
\DeclareMathOperator{\Spin}{Spin}
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} % Stabilisator
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} % symmetric group
\DeclareMathOperator{\T}{T} % tangent bundle
% X als Malzeichen und andere Operatorzeichen
\newcommand{\dop}{\mathrm{d}}
\newcommand{\X}{\times}
\newcommand{\normVek}[1]{\frac{#1}{\|#1\|}} % Bruch mit Eintrag im Zahler und dessen Norm im Nenner, gedacht fuer normierte Vektoren
%Realteil und Imaginaerteil
\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\operatorname{Re}}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\operatorname{Im}}}
% Differentialoperatoren als Br"uche
\newcommand{\difffrac}[3][]{\ifthenelse{\isempty{#1}}{\frac{\dop #2}{\dop #3}}{\left. \frac{\dop #2}{\dop #3} \right|_{#1}}}
\newcommand{\pdifffrac}[3][]{\ifthenelse{\isempty{#1}}{\frac{\partial #2}{\partial #3}}{\left. \frac{\partial #2}{\partial #3} \right|_{#1}}}
% ein schoener aussehender Faktorraum anstatt einfach nur A/B
\newcommand{\FakRaum}[2]{
\raisebox{0.7ex}{\ensuremath{#1}}
\ensuremath{\mkern-3mu}\big/\ensuremath{\mkern-3mu}
\raisebox{-0.6ex}{\ensuremath{#2}}}
\newcommand{\smallFakRaum}[2]{
\scriptsize{\raisebox{0.7ex}{\ensuremath{#1}}
\ensuremath{\mkern-3mu}\ / \ensuremath{\mkern-3mu}
\raisebox{-0.6ex}{\ensuremath{#2}}}}
% kleine Arrays fuer Matrizen im Fliesstext
\newenvironment{smallarray}[1]
{\null\,\vcenter\bgroup\scriptsize
\renewcommand{\arraystretch}{0.7}
\arraycolsep=.13885em
\hbox\bgroup$\array{@{}#1@{}}}
{\endarray$\egroup\egroup\,\null}
% Woerter in Kapitaelchenschrift
\newcommand{\kapit}[1]{\textsc{#1}\xspace} % \textsc fueg keinen Abstand nach dem Wort ein, also baue ich einen neuen Befehl mit \xspace am Ende
\newcommand{\Greedy}{\kapit{Greedy}}
\newcommand{\LRS}{\kapit{LRS}}
\newcommand{\Planes}{\kapit{Planes}}
\newcommand{\Puma}{\kapit{Puma}}
\newcommand{\Spheres}{\kapit{Spheres}}
\newcommand{\RotSpheres}{\kapit{Rotating Spheres}}
% Theoremartige Umgebungen
\theorembodyfont{\normalfont}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\newtheorem{dfn}{Definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{kor}{Korollar}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{bsp}{Beispiel}
\newtheorem{bspe}{Beispiele}
\newtheorem{bem}{Bemerkung}
\theorembodyfont{\normalfont}
\theoremsymbol{\ensuremath{\Box}}
\newtheorem{bew}{Beweis}
\theoremsymbol{\ensuremath{(\Box)}}
\newtheorem{bewSkiz}{Beweisskizze}
\theoremsymbol{}
\theoremstyle{emptybreak}
\newtheorem{emptythm}{}% druckt nur den optionalen Namen aus
\theoremstyle{break}
\newtheorem{Aufg}{Aufgabe}
\newtheorem{Loes}{L\"osung}
% changing enumerations
\setlist[enumerate]{label=(\arabic*), itemsep=0cm, leftmargin=1cm}
\setlist[itemize]{itemsep=0cm}
% set line distances
\linespread{1.1}
% Print and index given text
% usage: \DefTerm{[(optionally put another text for the index in here)]}{(text to print and add to index)}
\newcommand{\DefTerm}[2][]{\ifthenelse{\isempty{#1}}{\index{#2}}{\index{#1}}#2}
% Highlight(bold) and index the given text
% usage: \defi[(optionally put another text for the index in here)]{(text to highlight and add to index)}
\newcommand{\defi}[2][]{\textbf{\DefTerm[#1]{#2}}}
\parindent0pt % der Einschub bei neuem Absatz
% Befehl fuer Anfuerungszeichen unten und oben
\newcommand{\quot}[1]{\text{\glqq}{#1}\text{\grqq}}
%========================================================================================================================
% G L O S S A R
%========================================================================================================================
% Glossareintraege hier
% GL - Allgemeine Lineare Gruppe
% O - Orthogonale Gruppe, Matrizen deren Transponierte die Inverse ist, haben Determinante +/-1.
% SO - spezielle Orthogonale Gruppe, Zusammenhangskomponente von O bei denen die Determinante 1 ist.
% E - Euklidische Gruppe
% SE - Spezielle Euklidische Gruppe
%========================================================================================================================
% I N F O R M A T I O N E N Z U M S K R I P T
%========================================================================================================================
\subject{inoffizielles Skript}
\title{Angewandte Differentialgeometrie}
\subtitle{Gehalten von Dr. S. Grensing im Sommersemester 2013}
\author{getippt von Aleksandar Sandic\thanks{\href{mailto:[email protected]}{[email protected]}}}
%========================================================================================================================
% I N H A L T
%========================================================================================================================
\begin{document}
\maketitle
% Inhaltsverzeichnis
\pdfbookmark[1]{Inhaltsverzeichnis}{contents}
\setlength\parskip{0.6pt}
\tableofcontents
\chapter*{Vorwort}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Vorwort}
\section*{\"Uber dieses Skript}
Dies ist eine Mitschrieb der Vorlesung \quot{Angewandte Differentialgeometrie} von Dr. S. Grensing, gehalten im Sommersemester 2013 am Karlsruher Institut f"ur Technologie.
Dr. Grensing ist nicht f"ur den Inhalt verantwortlich und es besteht weder eine Garantie f"ur Vollst"andigkeit, noch Korrektheit der enthaltenen Aussagen.
\section*{Wer}
Das Skript wurde in von Aleksandar Sandic getippt.
Bei Anmerkungen bzw. beim Auffinden von Fehlern korrigierte bitte die entsprechende Stelle in Wiki oder schickt eine E-Mail an
\begin{center}
\href{mailto:[email protected]}{[email protected]}
\end{center}
\section*{Wo}
Link zur Vorlesung: \url{http://www.math.kit.edu/iag5/lehre/angdifgeo2013s/de}\\
Link zum Skript: \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de/AngDiffGeo2013.pdf}\\
Link zum Mitschiebwiki: \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}
\section*{To Do}
Fertig, die Vorlesung ist beendet und der Inhalt ist vollst"andig.
Eventuell k"onnte man noch die "Ubung in's Skript aufnehmen, aber ich bin nicht sicher ob das den Aufwand wert w"are.
Ansonsten\ldots
\begin{itemize}
\item
Glossareintr"age anlegen
\item
Ein richtiges Literaturverzeichnis
\end{itemize}
%========================================================================================================================
% V O R L E S U N G
%========================================================================================================================
%-------------------------- Kapitel 1 --------------------------
% Vorlesung vom 16. 4.
\chapter{R\"auber und Gendarm}
\section{Metrische R\"aume mit oberen Kr\"ummungsschranken}
Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Ein Weg $c: \calI \to X$ hei"st \defi[Geod\"atische!minimierende]{(minimierende) Geod"atische}, wenn $d(c(t), c(t')) = (t - t')$ f"ur alle $t, t' \in \calI$ gilt.
Der Raum $X$ hei"st \defi[Raum!geod\"atischer]{geod"atischer Raum}, wenn f"ur alle $x, y \in X$ eine Geod"atische von $x$ nach $y$ existiert, beziehungsweise \defi[Raum!$R$-geod\"atischer]{$\bm{R}$-geod"atisch}, wenn dies f"ur $d(x, y) \le R$ gilt.
Ist $c: [a, b] \to X$ ein Weg so hei"st er \defi[Weg!rektifizierbarer]{rektifizierbar}, falls seine L"ange \marginnote{\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=0.5,baseline=0]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (1) at (-3,-0.5); \coordinate (2) at (3,2.5);
\coordinate (ctrl1) at (1,2.5); \coordinate (ctrl2) at (-0.5,-2);
\draw (1) ..controls($(1) + (ctrl1)$) and ($(2) + (ctrl2)$).. coordinate[pos=0.1](a) coordinate[pos=0.5](b) coordinate[pos=0.75](c) coordinate[pos=0.95](d) node[pos=0.65,below]{$c$} (2);
\draw[dashed] (a) node[left]{$c(t_i)$} -- node[below]{$d_i$} (b) node[above]{$c(t_{i+1})$};
\draw[decorate,decoration={brace}] (c) -- node[above left]{$d_n$} (d);
\end{tikzpicture}}
\begin{align*}
\calL(c) = \sup \left\{ \sum d(c(t_i), c(t_{i+1})) \mid t_1 < \ldots t_n, t_i \in \calI \right\}
\end{align*}
endlich ist.
Es gilt $d(c(a), c(b)) \le \calL(c)$.
Die Kurvenl"ange ist invariant unter monotonen Reparametrisierungen.
Die L"angenfunktion $t \mapsto \calL(c|_{[a,t]})$ ist monoton wachsend; insbesondere besitzt jede Kurve eine Bogenl"angenparametrisierung.
Der Raum $(X, d)$ hei"st \defi[Raum!L\"angen-]{L"angenraum} (oder $d$ \defi[Metrik!innere]{innere Metrik}), falls die Metrik
\begin{align*}
\overline{d}(x, y) = \inf \{ \calL(c) \mid c: \calI \to X \text{ rektif'barer Weg}, c(0) = x, c(1) = y\}
\end{align*}
mit $d$ "ubereinstimmt.
\begin{bspe}\begin{enumerate}[label=\arabic*), leftmargin=*]
\item
$\R^n$ mit der euklidischen Metrik ist ein geod"atischer Raum und ein L"angenraum.
\item
Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein L"angenraum (Beweis zur "Ubung).
\item
Ist $(X, d)$ ein metrischer Raum, so folgt dass $(X, \overline d)$ eine L"angenmetrik ist, das heißt $\overline{\overline{d}} = \overline{d}$ (das iterieren der Konstruktion liefert keine neue Metrik).
\item
Jeder geod"atische Raum ist ein L"angenraum.
Es gilt stets $d \le \overline{d}$.
Sind $x, y \in X$ und ist $\gamma : [a, b] \to X$ eine Geod"atische von $x$ nach $y$, so gilt:
\begin{align*}
\calL(\gamma) &= \sup \left\{ \sum d(\gamma(t_i), \gamma(t_{i+1})) \right\} \\
&= \sup \left\{ \sum (t_{i+1} - t_i) \right\} \\
&= t - a = d(x, y). \shortintertext{Also}
\overline{d}(x, y) &= \inf_c \calL(c) \le \calL(\gamma) = d(x, y)
\end{align*}
\item
$\R^2 \setminus \{0\}$ ist ein L"angenraum (bez"uglich der euklidischen Metrik), aber kein geod"atischer Raum.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,1.5);
\fill (-1,0) circle(0.05) node[below]{$-1$} (1,0) circle(0.05) node[below]{$1$};
\draw (-1,0) to[out=20,in=160] (1,0);
\filldraw[fill=white] (0,0) circle(0.05);
\end{tikzpicture}\\
Es gibt keine k"urzeste Verbindung
\end{center}
\end{enumerate}\end{bspe}
\begin{satz}[von Hopf-Rinow; Chom-Vossen 1935]
Es sei $X$ ein lokalkompakter L"angenraum. Dann sind die folgenden Aussagen "aquivalent:
\begin{enumerate}[label=(\roman*), widest=iii]
\item
$X$ ist vollst"andig
\item
$X$ ist \defi[vollst\"andig!geod\"atisch]{geod"atisch vollst"andig}, das hei"st jede Geod"atische $c: [0,1) \to X$ kann in $1$ fortgesetzt werden.
\item
Beschr"ankte abgeschlossene Mengen sind kompakt.
\end{enumerate}
\end{satz}
Jede der obigen Aussagen impliziert, dass $X$ ein geod"atischer Raum ist.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (x) at (-2.5,-0.5); \coordinate (y) at (2.5,1.5);
\foreach \i in {20,30,40,50} { \draw (x) to[relative,out=\i,in=180-\i] (y); }
\fill (x) circle(0.05)node[below]{$x$} (y) circle(0.05)node[right]{$y$};
\end{tikzpicture}\\
Kanten $e_n$ der L"ange $1+\frac{1}{n}$ $\leadsto$ Es gibt keine Kurve der L"ange $1$\end{center}
Es bezeichne $M_\kappa^2$ die (eindeutigen) 2-dimensionalen, einfachzusammenh"angenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit der Schnittkr"ummung $\sec \equiv \kappa$, und $D_\kappa$ ihren Durchmesser:
\begin{align*}
M_\kappa^2 &= \begin{cases}
\S_{\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}^2 & ,\kappa > 0 \\
\R^2 & ,\kappa = 0 \\
\H_{\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}^2 & ,\kappa < 0
\end{cases} \\
D_\kappa &= \begin{cases}
\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}} & ,\kappa > 0 \\
\infty & ,\kappa \le 0
\end{cases} \shortintertext{wobei}
\H_{\frac{1}{\sqrt{\kappa}}}^2 &= \left\{ x \in \R^3 \mid x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = -\frac{1}{\kappa} \right\}.
\end{align*}
Es sei $X$ ein metrischer Raum. Ein \defi[Dreieck!geod"atisches]{geod"atisches Dreieck} $\Delta(x, y, z)$ besteht aus Geod"atischen $c_{xy} = \overline{xy}$, $c_{yz} = \overline{yz}$ und $c_{zx} = \overline{zx}$ zwischen den Punkten $x$, $y$ und $z$.
Ein Vergleichsdreieck in $M_\kappa^2$ ist ein geod"atisches Dreieck $\overline\Delta(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ mit gleichen Kantenl"angen wie das urspr"ungliche Dreieck.
Ein solches Vergleichsdrieck existiert eindeutig, falls der Umfang $d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) \le 2 D_\kappa$ ist.
Ein Punkt $\overline p \in \overline\Delta(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ hei"st \defi[Punkt!Vergleichs-]{Vergleichspunkt} zu $p \in \Delta(x, y, z)$, $p \in \overline{xy}$, falls $\overline{d}(\overline{x}, \overline{p}) = d(x, p)$.
Das Dreieck $\Delta(x, y, z)$ erf"ullt die \defi[CAT(k)-Ungleichung@$\CAT(\kappa)$-Ungleichung]{$\bm{\CAT(\kappa)}$-Ungleichung}, wenn f"ur alle $p, q \in \Delta(x, y, z)$ mit vergleichpunkten $\overline{p}, \overline{q}$ gilt:
\begin{align*}
d(p, q) \le \overline{d}(\overline{p}, \overline{q})
\end{align*}
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (yShift) at (3,0.25); \coordinate (zShift) at (2,2);
\coordinate (x) at (-3.5,0); \coordinate (y) at ($(x)+(yShift)$); \coordinate (z) at ($(x)+(zShift)$);
\coordinate (x') at ($(x)+(4.5,0)$); \coordinate (y') at ($(x')+(yShift)$); \coordinate (z') at ($(x')+(zShift)$);
\draw (x) to[out=20,in=170] coordinate[pos=0.5] (p) (y) to[out=135,in=270] (z) to[out=240,in=35] coordinate[pos=0.5] (q) (x) -- cycle;
\fill (x) circle(0.05)node[below]{$x$} (y) circle(0.05)node[right]{$y$} (z) circle(0.05)node[above]{$z$};
\fill (p) circle(0.05) (q) circle(0.05);
\draw[dashed] (p) node[below]{$p$} -- (q) node[above]{$q$};
\node at ($(x)+(3,1.5)$){$\subseteq X$};
\draw (x') --coordinate[pos=0.5] (p') (y') -- (z') --coordinate[pos=0.5] (q') (x') -- cycle;
\fill (x') circle(0.05)node[below]{$\overline x$} (y') circle(0.05)node[right]{$\overline y$} (z') circle(0.05)node[above]{$\overline z$};
\fill (p') circle(0.05) (q') circle(0.05);
\draw[dashed] (p') node[below]{$\overline p$} -- (q') node[above]{$\overline q$};
\node at ($(x')+(3,1.5)$){$\subseteq \R^2$};
\end{tikzpicture}\end{center}
Der Raum $X$ besitzt die obere Kr"ummungsschranke $\kappa$, wenn f"ur alle $x \in X$ eine geod"atische Umgebung existiert, in der alle Dreiecke die $\CAT(\kappa)$-Ungleichung erf"ullen. F"ur $\kappa = 0$ hei"st $X$ \defi[ger\"ummt!nicht-positiv]{nicht-positiv gekr"ummt}. Erf"ullt $X$ global die $\CAT(\kappa)$-Ungleichung, so hei"st $X$ \defi[Raum!$\CAT(\kappa)$-]{$\bm{\CAT(\kappa)}$-Raum}.
\begin{bspe}\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item
$\R^2$ ist $\CAT(0)$, $M^2 = \FakRaum{\R^2}{\Z^2}$ ist nichtpositiv gekr"ummt.
\item
$\S^1$ ist $\CAT(1)$.
\item
$\R^2 \setminus Q_1$, $Q_1 = \{ x_1 > 0, x_2 > 0 \}$, mit der induzierten L"angenmetrik ist $\CAT(0)$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (x) at (-2,-1); \coordinate (y) at (1.5,-0.5); \coordinate (z) at (-0.5,1);
\draw (x) -- (y) -- (0,0) -- (z) -- (x) -- cycle;
\fill (x) circle(0.05)node[below]{$x$} (y) circle(0.05)node[below]{$y$} (z) circle(0.05)node[above]{$z$};z
\fill[fill=gray!30,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle(2.4,1.4);
\node at (1,0.75) {$Q_1$};
\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\end{tikzpicture}\end{center}
\item
Sei $(M, g)$ Riemannsche Manngifaltigkeit mit der Schnittkr"ummung $\sec_g \le \kappa$ und vollst"andig.
Nach dem Satz von Topogonov hat $M$ die obere Kr"ummungsschranke $\kappa$.
\end{enumerate}\end{bspe}
\begin{emptythm}[Eigenschaften von $\CAT(\kappa)$-R"aumen]\begin{itemize}
\item
Geod"atische der L"ange $< D_\kappa$ sind eindeutig.
\item
B"alle vom Radius $< \frac{1}{2} D_\kappa$ sind konvex und zusammenziehbar.
\item
$\CAT(0)$-R"aume sind zusammenziehbar.
\end{itemize}\end{emptythm}
\begin{emptythm}[Charakterisierung von $\CAT(\kappa)$-R"aumen]
F"ur jedes geod"atische Dreieck $\Delta(x, y, z)$ vom Umfang $< 2 D_\kappa$ und Punkte $p \in \overline{xy}$ und $q \in \overline{xz}$ gilt f"ur Vergleichsdreiecke $\overline\Delta(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ und $\overline\Delta(\overline{x}, \overline{p}, \overline{q})$:
\begin{align*}
\varangle_{\overline{x}} (\overline{p}, \overline{q}) \le \varangle_{\overline{x}} (\overline{y}, \overline{z}) \tag{in $M_\kappa^2$}
\end{align*}
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1.5]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (yShift) at (3,0.25); \coordinate (zShift) at (2,2);
\coordinate (x) at (-3.5,0); \coordinate (y) at ($(x)+(yShift)$); \coordinate (z) at ($(x)+(zShift)$);
\coordinate (x') at ($(x)+(4.5,0)$); \coordinate (y') at ($(x')+(yShift)$); \coordinate (z') at ($(x')+(zShift)$);
\draw (x) to[out=20,in=170] coordinate[pos=0.5] (p) (y) to[out=135,in=270] (z) to[out=240,in=35] coordinate[pos=0.5] (q) (x) -- cycle;
\fill (x) circle(0.05)node[below]{$x$} (y) circle(0.05)node[right]{$y$} (z) circle(0.05)node[above]{$z$};
\fill (p) circle(0.05) (q) circle(0.05);
\draw (p) node[below]{$p$} -- (q) node[above]{$q$};
\fill (x') circle(0.05)node[below]{$\overline x$} (y') circle(0.05)node[right]{$\overline y$} (z') circle(0.05)node[above]{$\overline z$};
\coordinate (p') at ($(x')+(15:2)$); \coordinate (q') at ($(x')+(35:1.75)$);
\fill (p') circle(0.05)node[right]{$\overline p$} (q') circle(0.05)node[above]{$\overline q$};
\node at ($(x')+(3,1.5)$){$\Delta(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$};
\node at ($(x')+(22:2.3)$){$\overline{\Delta}(\overline{x},\overline{p},\overline{q},)$};
\draw[clip] (x') -- (y') -- (z') -- (x') -- cycle;
\draw (x') circle(1.25);
\draw[clip] (x') -- (p') -- (q') -- (x') -- cycle;
\draw (x') circle(1);
\end{tikzpicture}\end{center}
Ist $X$ ein $\CAT(\kappa)$-Raum und sind $c_1$ und $c_2$ Geod"atische mit gleichem Startpunkt $c_1(0) = c_2(0) = x$ so ist der Winkel $\varangle_{\overline{x}} (\overline{c_1(s)}, \overline{c_2(t)})$ monoton wachsend in $s$ und $t$.
Damit ist der Winkel
\begin{align*}
\varangle(c_1, c_2) = \lim_{\mathclap{s,t \to 0}} \varangle_{\overline{x}} (\overline{c_1(s)}, \overline{c_2(t)})
= \lim_{\mathclap{t \to 0}} \varangle_{\overline{x}} (\overline{c_1(t)}, \overline{c_2(t)})
\end{align*}
wohldefiniert.
\end{emptythm}
\begin{satz}[von Hadamart-Cartan; Alexander-Bishop 1990]
Es sei $X$ ein vollst"andiger metrischer Raum mit der oberen Kr"ummungsschranke $\kappa \le 0$. Dann ist seine universelle "Uberlagerung $\tilde X$ (bez"uglich der induzierten Metrik) (global) $\CAT(\kappa)$.
\end{satz}
% Vorlesung vom 29. 4.
\section{Konvexit\"at}
Eine Teilmenge $C$ eines $\CAT(0)$-Raumes (geod"atischer Raum) hei"st \defi{konvex}, falls f"ur alle $x, y \in C$ das geod"atische Segment von $x$ nach $y$ existiert und in ganz $C$ verl"auft.
Eine Abbildung $f: X \to \R$ auf einem $\CAT(0)$-Raum hei"st \defi{konvex}, falls f"ur jede Geod"atische $c: [0,1] \to X$ die Funktion $f \circ c: [0,1] \to \R$ konvex im gew"ohnlichen Sinne ist.
Ist $X$ ein $\CAT(0)$-Raum, so ist die Metrik konvex, das hei"st f"ur Geod"atische $c_1,c_2: [0,1] \to X$ ist die Funktion
\begin{align*}
t \mapsto d(c_1(t), c_2(t))
\end{align*}
konvex, wie man in der folgenden Beweisskizze erkennt:
\begin{bewSkiz}
Wir betrachten ohne Einschr"ankung den Fall dass beide Geod"atischen den gleichen Startpunkt $x = c_1(0) = c_2(0)$ haben:
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1.5]
%\tikzgitter{(-4,-1)}{(4,3)}
\coordinate (yShift) at (3,0.25); \coordinate (zShift) at (2,2);
\coordinate (x) at (-3.5,0); \coordinate (y) at ($(x)+(yShift)$); \coordinate (z) at ($(x)+(zShift)$);
\coordinate (x') at ($(x)+(4.5,0)$); \coordinate (y') at ($(x')+(yShift)$); \coordinate (z') at ($(x')+(zShift)$);
\draw (x) to[out=20,in=170] coordinate[pos=0.5] (p) (y) to[out=135,in=270] (z) to[out=240,in=35] coordinate[pos=0.5] (q) (x) -- cycle;
\fill (x) circle(0.05)node[below]{$x = c_1(0) = c_2(0)$} (y) circle(0.05)node[below]{$c_1(1)=y$} (z) circle(0.05)node[above]{$c_2(1)=z$};
\fill (p) circle(0.05) node[below]{$c_1(t)$} (q) circle(0.05) node[above left]{$c_2(t)$};
\draw[dashed] (p) -- (q);
\node at ($(y)+(0,1)$) {$\subseteq X$};
\draw (x') --coordinate[pos=0.5] (p') (y') -- (z') --coordinate[pos=0.5] (q') (x') -- cycle;
\fill (x') circle(0.05)node[below]{$\overline x$} (y') circle(0.05)node[below]{$\overline y$} (z') circle(0.05)node[above]{$\overline z$};
\fill (p') circle(0.05)node[below]{$\overline{c_1(t)}$} (q') circle(0.05)node[above left]{$\overline{c_2(t)}$};
\draw[dashed] (p') -- (q');
\node at ($(y')+(0,1)$) {$\subseteq \R^2$};
\end{tikzpicture}\end{center}
Bei Betrachtung des Vergleichsdreiecks zu $\Delta(c_1(0), c_1(1), c_2(1))$ erhalten wir aus der $\CAT(0)$-Ungleichung:
\begin{align*}
d(c_1(t), c_2(t)) \le d_{\R^2} (\overline{c_1(t)}, \overline{c_2(t)})
= t \cdot d_{\R^2} (\overline y, \overline z)
= t \cdot d_{\R^2} (c_1(1), c_2(1))
\end{align*}
Betrachte nun $c$ von $c_2(0)$ nach $c_1(1)$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (1) at (-2,1); \coordinate (2) at (2,1.25);
\coordinate (3) at (-2,-0.5); \coordinate (4) at (2,-1.5);
\draw (1) to[out=0,in=190] coordinate[pos=0.3] (5) (2);
\draw (3) to[out=0,in=150] coordinate[pos=0.5] (6) (4);
\draw (1) to[out=340,in=140] coordinate[pos=0.2] (7) node[pos=0.6][above]{$c$} (4);
\fill (1) circle(0.05)node[above]{$c_2(0)$} (2) circle(0.05)node[above]{$c_2(1)$} (3) circle(0.05)node[below]{$c_1(0)$} (4) circle(0.05)node[below]{$c_1(1)$};
\fill (5) circle(0.05)node[above]{$c_2(t)$} (6) circle(0.05)node[below]{$c_1(t)$} (7) circle(0.05)node[below left]{$c(t)$};
\draw (5) -- (6);
\draw[dashed] (5) --(7) -- (6);
\end{tikzpicture}\end{center}
Nach der Dreiecksungleichung gilt:
\begin{align*}
d(c_1(t), c_2(t)) &\le d(c_1(t), c(t)) + d(c_2(t), c(t)) \\
&\le (1-t) \cdot d(c_1(0), c_2(0)) + t \cdot d(c_1(1), c_2(1))
\end{align*}
\end{bewSkiz}
Geod"atische Segmente in X sind immer eindeutig, wie man mit der folgenden Skizze erkennen kann:
\begin{center}\begin{tikzpicture}
[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (x) at (-1.5,-0.5); \coordinate (y) at (2,0.5);
\draw (x) to[out=45,in=160] node[above]{$c_1$} (y);
\draw (x) to[out=350,in=230] node[below]{$c_2$} (y);
\fill (x) circle(0.05) node[left]{$x$} (y) circle(0.05) node[right]{$y$};
\end{tikzpicture}\end{center}
Die Abstandsfunktion $d(c_1(\cdot), c_2(\cdot))$ ist konvex mit Nullstellen in $0$ und $1$, also konstant Null und damit $c_1 = c_2$.
Nun fixiere $x_0 \in X$, und sei $c_x$ das geod"atische Segment von $x_0$ nach $x$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (x0) at (-1.5,-0.5); \coordinate (x) at (2.5,1); \coordinate (y) at (1.5,-1);
\draw (x) to[out=190,in=30] node[above]{$c_x$} coordinate[pos=0.3] (cxt) (x0) to[out=5,in=150] node[below]{$c_y$} (y);
\fill (x0) circle(0.05) node[left]{$x_0$} (x) circle(0.05) node[right]{$x$} (y) circle(0.05) node[right]{$y$} (cxt) circle(0.05) node[below]{$c_x(t)$};
\end{tikzpicture}\end{center}
Damit wird $H(x,t) = c_x(t)$ eine Retraktion von $X$ auf $\{x_0\}$.
Ist $C$ eine vollst"andige konvexe Teilmenge von $X$, so existiert eine \quot{orthogonale Projektion} $\pi: X \to C$ mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[label=(\roman*),widest=iii]
\item
F"ur jedes $x \in X$ ist $\pi(x) \in X$ der eindeutig bestimmte Punkt mit
\begin{align*}
d(x, \pi(x)) = d(x, C) = \inf \{d(x, c) \mid c \in C\}
\end{align*}
\item
F"ur Punkte $y \in C$ und $x \notin C$, mit $\pi(x) \ne y$, gilt $\varangle_{\pi(x)}(x, y) \ge \frac{\pi}{2}$.
\item
Es gilt $\pi(\overline{x \pi(x)}) = \{\pi(x)\}$.
\item
$\pi$ ist eine Retraktion von $X$ auf $C$, welche Abst"ande nicht vergr"o"sert.
\end{enumerate}
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1.25]
%\tikzgitter{(-1,-4)}{(5,4)}
\coordinate (x) at (2.5,0.5); \coordinate (y) at (-0.25,0.75); \coordinate (z) at (3,-1.25);
\draw (0,-1.5) to[out=60,in=300] coordinate[pos=0.25](pz) coordinate[pos=0.6](px) (0,1.5);
\node at (-0.25, 1.25) {$C$};
\foreach \i in {0.05, 0.1, ...,1}{
\path (0,-1.5) to[out=60,in=300] coordinate[pos=\i] (pkt) (0,1.5);
\draw[opacity=0.5] (pkt) -- +(225:0.2);
}
\draw (z) -- (x) --coordinate[pos=0.3](x') (px) -- (pz) (px) -- (y);
\draw[dashed] (pz) -- (z) -- (px);
\fill (x) circle(0.05)node[right]{$x$} (y) circle(0.05)node[below]{$y$} (z) circle(0.05)node[right]{$z$};
\fill (x') circle(0.05)node[below]{$x'$}node[above]{$\pi(x')=\pi(x)$};
\fill (px) circle(0.05)node[below left]{$\pi(x)$} (pz) circle(0.05)node[left]{$\pi(z)$};
\begin{scope}
\clip (x) -- (px) -- (y) -- cycle;
\draw (px) circle(0.2);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (x) -- (px) -- (pz) -- (z) -- cycle;
\draw (px) circle(0.25);
\draw (pz) circle(0.25);
\end{scope}
\node at (0.8,0) {$\ge\frac{\pi}{2}$};
\node at (0.8,-0.6) {$\ge\frac{\pi}{2}$};
\end{tikzpicture}\end{center}
\begin{emptythm}[Konstruktion]
Es seien $X_1$ und $X_2$ zwei $\CAT(0)$-R"aume. Dann ist $X_1 \X X_2$ ebenfalls ein $\CAT(0)$-Raum bez"uglich der Produktmetrik. Die Geod"atischen von $X_1 \X X_2$ sind genau die Produkt $c_1 \X c_2$ von Geod"atischen $c_i$ in $X_i$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=0.8]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\draw (-1.5,0) circle(2) (1.5,0) circle(2);
\node at (-3.25,1.5) {$X_1$}; \node at (3.25,1.5) {$X_2$};
\begin{scope}
\clip (-1.5,0) circle(2);
\fill[gray,opacity=0.3] (1.5,0) circle(2);
\end{scope}
\coordinate (x1) at (-2,1.5); \coordinate (x2) at (-1.5,-1); \coordinate (y) at (2.5,0.25);
\fill (x1) circle(0.05)node[left]{$x_1$} (x2) circle(0.05)node[left]{$x_2$} (y) circle(0.05)node[right]{$y$};
\draw (x1) -- (y);
\draw (x1) ..controls(-1,2) and (-1,1.5).. (-0.25,1.25) ..controls(0.5,1) and (1.75,1.25).. (y);
\draw (x1) ..controls(-1,1.25) and (-0.75,0.5).. (-0,0.25) ..controls(0.75,0) and (1,0.75).. (y);
\draw (x1) ..controls(-1.5,0.5) and (0,1).. (-0.5,1.25) ..controls($0.9*(-1,1.5)$) and (-0.5,-0.25).. (y);
\end{tikzpicture}\end{center}
Weitere $\CAT(0)$-R"aume erh"alt man durch \quot{Verkleben} entlang konvexer Teilmengen.
Es sei $A$ ein vollst"andiger metrischer Raum und seien $\iota_i: A \hookrightarrow A_i \subseteq X_i$ Isometrien auf konvexen Teilmengen in $X_1$ beziehungsweise $X_2$.
Dann ist $X_1 \cup_A X_2 = \FakRaum{X_1 \dot{\cup} X_2}{\{\iota_1(a)=\iota_2(a) \in A\}}$ mit der Metrik
\begin{align*}
d(x,y) = \begin{cases}
d_{X_i}(x,y) & x,y \in X_i \\
\inf_{a \in A} \{ d(x, \iota_i(a)) + d(\iota_j(a), y) \} & x \in X_i, y \in X_j, i \ne j
\end{cases}
\end{align*}
ein $\CAT(0)$-Raum.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\coordinate (1) at (-1,1.5); \coordinate (2) at (1,-1.5);
\draw[name path=mitte] (1) -- (2);
\draw (1) arc(40:100:2) (1) arc(200:150:2);
\draw (2) arc(380:320:2) (2) arc(210:280:2);
\node at (-3,1.5) {$X_1$}; \node at (-0.25,3) {$X_2$};
\node at (-1,1) {$A_1$}; \node at (-0.5,1.5) {$A_2$};
\coordinate (x) at (-0.5,-2.5); \coordinate (y) at (3,-1.5); \coordinate (z) at (-1.5,-0.5);
\draw (z) -- (x) -- (2) -- (y);
\draw[name path=diagonale] (z) -- (y);
\path[name intersections={of=mitte and diagonale}];
\draw[dashed] (z) -- (2) (x) -- (intersection-1);
\fill (x)circle(0.05)node[below]{$x$} (y)circle(0.05)node[right]{$y$} (z)circle(0.05)node[above]{$z$} (2)circle(0.05)node[above right]{$x'$} (intersection-1)circle(0.05)node[above right]{$z'$};
\end{tikzpicture}\\
Betrachte die Vergleichsdreiecke $\Delta(\overline x, \overline{x'}, \overline{z'})$ und $\Delta(\overline{z'}, \overline{y}, \overline{x'})$
\end{center}
\end{emptythm}
\section{R\"auber und Gendarm}
\begin{emptythm}[Regeln]
Das Spielfeld $D$ sei eine zusammenh"angende Teilmenge des $\R^n$.
Eine Startkonfiguration sei gegeben durch eine endliche Anzahl von Verfolgern $P_1, \ldots, P_N \in D$ und einen Fl"uchtigen $E \in D$.
Wir betrachten zun"achst (zeitlich) diskrete Modelle.
Es bezeichnen $P_k^t$ beziehungsweise $E^t$ die Positionen der Verfolger beziehungsweise des Fl"uchtigen zum Zeitpunkt $t \in \N$.
\end{emptythm}
\begin{emptythm}[Spielverlauf]
Zum Zeitpunkt $t$ w"ahlt zun"achst $E^t$ eine neue Position $E^{t+1}$ mit dem Abstand $d(E^t, E^{t+1}) \le 1$, also h"ochstens eine Einheit entfernt von der vorherigen Position, danach (simultan) die Verfolger $P_k^t$, entsprechend mit $d(P_k^t, P_k^{t+1}) \le 1$.
Die Verfolger gewinnen, wenn f"ur jedes $C > 1$ ein $t \in N$ existiert, so dass $d(E^t, P_k^t) < C$ f"ur ein $k \in \N$ gilt.
\end{emptythm}
\begin{satz}
Auf jedem Kompaktum $D \subseteq \R^n$ ist \quot{\index{Greedy@\Greedy}\Greedy} stets erfolgreich (mit mindestens einem Verfolger).
\end{satz}
\begin{emptythm}[\Greedy]
Der Verfolger bewegt sich um die Distanz $1$ auf der Strecke $\overline{P^t E^t}$:
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (1) at (-2.5,-0.5); \coordinate (2) at (2,1.5);
\path (1) --coordinate[pos=0.35](3) (2);
\fill (1) circle(0.05) node[left]{$P^t$} (2) circle(0.05) node[above right]{$E^t$} (3) circle(0.05)node[above]{$P^{t+1}$};
\draw[->] (1) -- (3);
\draw[dashed] (3) -- (2);
\end{tikzpicture}\end{center}
\end{emptythm}
\begin{bewSkiz}[allgemein sp"ater]
Skizze zum \Greedy Algorithmus:
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (1) at (-2.5,-0.5); \coordinate (2) at (2,1.5);
\path (1) --coordinate[pos=0.35](3) (2);
\coordinate (4) at (3.5, 0.5);
\fill (1) circle(0.05) node[left]{$P^t$} (2) circle(0.05) node[above right]{$E^t$} (3) circle(0.05)node[above]{$P^{t+1}$} (4) circle(0.05) node[right]{$E^{t+1}$};
\draw[->] (1) --node[above]{$1$} (3);
\draw (3) -- (2) --node[above right]{$1$} (4) --node[below]{$d^{t+1} > 1 + \epsilon$} (3);
\begin{scope}
\clip (3) -- (2) -- (4) -- cycle;
\draw (3) circle(1.5);
\node at ($(3) + (15:1.75)$) {$\alpha^t$};
\end{scope}
\draw[decorate,decoration={brace}] ([yshift=12,xshift=-5]1) --node[above]{$d^t$} ([yshift=12,xshift=-5]2);
\end{tikzpicture}\\
$d^{t+1} \le 1 + (d^t - 1) = d^t \Rightarrow \lim_{t \to \infty} d^t =: d^\infty$
\end{center}
Angenommen der Fl"uchtige w"urde entkommen. Dann w"are $d^\infty > 1$ und damit der Winkel $\alpha^t \xrightarrow{t \to \infty} 0$, das bedeutet $D$ w"urde beliebig lange Geradensegmente enthalten, w"are also nicht kompakt.
Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.
\end{bewSkiz}
\begin{emptythm}[Mehrere Verfolger in $\R^n$]
Wann ist ein Entkommen bei mehreren Verfolgern "uberhaupt m"oglich? Wir schauen uns die folgende Zeichnung an:
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\coordinate (1) at (-1,0.5); \coordinate (2) at (-1,-1); \coordinate (3) at (-2,0);
\coordinate (4) at (-2,-1.25); \coordinate (5) at (-2,1); \coordinate (6) at (-3.5,-0.25);
\coordinate (e) at (0.1,0);
\foreach \i in {1,2,...,6}{
\fill (\i)circle(0.05)node[below]{$P_{\i}$};
\draw[->] (\i) -- ($(\i)!1cm!(e)$);
}
\fill (e)circle(0.05)node[below]{$E$};
\foreach \i in {0,1,2}{
\draw[->] ($(e)+(\i,0)$) -- ++(1,0);
}
\foreach \i in {-0.5,0.25,1,1.75}{
\draw[dashed,opacity=0.5] (\i,-2) -- (\i,2);
}
\node at (0.75,1) {Hyperebenen};
\end{tikzpicture}\end{center}
Sei $C^t = \conv(P_1^t, \ldots, P_N^t)$ die konvexe H"ulle zum Zeitpunkt $t$.
Ein Entkommen ist m"oglich, wenn es eine trennende Hyperebene gibt, also wenn $E \notin \convo(P_1^t, \ldots, P_N^t)$, wobei $\convo$ das Innere der konvexen H"ulle bezeichnet.
Es stellt sich die Frage, ob die Umkehrung auch zutrifft, also ob nie ein Entkommen m"oglich ist, wenn $E \in \convo(P_1, \ldots, P_N)$.
Bei \Greedy ist das nicht der Fall, der Beweis ist dem Leser zur "Ubung "uberlassen.
Wir weden uns nun also einen neuen Algorithmus anschauen.
\end{emptythm}
\begin{emptythm}[\Planes]
Die idee hinter dem \Planes\index{Planes@\Planes} Algorithmus ist den Bereich um die Verfolger durch Hyperebenen einzugrenzen und systematisch zu verkleinern.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\coordinate (e) at (0,0);
\def\clipRadius{2}
\fill (e)circle(0.05) node[below left]{$E^0$};
\coordinate (1) at (1.25,-0.5); \coordinate (2) at (1.5,1.5); \coordinate (3) at (-0.5,1.25);
\coordinate (4) at (-1.5,-0.25); \coordinate (5) at (-0.25,-1);
\begin{scope}
\clip (0,0.25) ellipse(2.3 and 2.2);
\foreach \i in {1,2,3,4,5}{
\fill (\i) circle(0.05);
\draw[dashed] (\i) -- (e);
\draw ($(\i)!\clipRadius!90:(e)$) -- ($(\i)!-\clipRadius!90:(e)$);
\begin{scope}
\clip (e) -- (\i) -- ($(\i)!\clipRadius!90:(e)$) -- (e);
\draw (\i) circle(0.35);
\fill ($(\i)!0.2cm!45:(e)$)circle(0.03);
\end{scope}
}
\end{scope}
\draw[dashed] (1)node[right]{$P_1$} -- (2)node[above right]{$P_2$} -- (3)node[above]{$P_3$} -- (4)node[left]{$P_4$} -- (5)node[below]{$P_5$} -- cycle;
\end{tikzpicture}\end{center}
\begin{itemize}
\item
$P_k^{t+1} = P_k^{t+1}(P_k^t, E^t, E^{t+1})$
\item
Gerade $\calL_k^{t+1}$ parallel zu $\overline{E^tP_k^t}$ durch $E^{t+1}$
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\def\angle{25}
\draw[dashed] (-1.5,0.5) --coordinate[pos=0.2](p) coordinate[pos=0.8](e) +(\angle:3.5);
\draw[dashed,name path=gerade] (-2,-0.75) --node[pos=0.2,below]{$\calL_k^{t+1}$} +(\angle:6);
\draw ($(p)!-2cm!90:(e)$) -- ($(p)!0.75cm!90:(e)$);
\fill (p) circle(0.05)node[left]{$P_k^t$} (e) circle(0.05)node[above]{$E^t$};
\draw[->] ($(p)!0.3cm!90:(e)$) -- ($($(p)!0.3cm!90:(e)$)!0.5cm!90:(p)$);
\path[name path=flucht] (e) -- ($(e)!2cm!90:(p)$);
\path[name intersections={of=flucht and gerade}];
\coordinate (e') at (intersection-1);
\draw[->] (e) --node[right]{$r$} (e');
\path[name path=kreis] (p) circle(1.25);
\path[name intersections={of=kreis and gerade}];
\coordinate (p') at (intersection-2);
\fill (p') circle(0.05) node[right]{$P_k^{t+1}$};
\draw[->] (p) --node[above]{$1$} (p');
\draw ($(p')!-1cm!90:(e')$) -- ($(p')!1.75cm!90:(e')$);
\end{tikzpicture}\end{center}
\item
$P_k^{t+1} \in \calL_k^{t+1}$ mit $d(P_k^t, P_k^{t+1}) = 1$ und $d(_k^{t+1}, E^{t+1})$ minimal
\end{itemize}
\end{emptythm}
\begin{satz}[Kopperty-Ravishankar '05]
Es sei $D = \R^n$. Falls $E \in \convo(P_1, \ldots, P_N)$ gilt, so ist \Planes erfolgreich.
\end{satz}
\begin{bew}
Zun"achst stellen wir mit der folgenden Zeichnung einige Vor"uberlegungen an:
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=2]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\draw (-2.25,0.5) --node[above]{$d^t$} (2,0.5);
\draw (-2.25,-0.5) --node[below]{$d^{t+1}$} (2,-0.5);
\coordinate (p) at (-1.75,0.5); \coordinate (e) at (1,0.5); \coordinate (e') at (1.5,-0.5);
\coordinate (1) at (-1.75,-0.5); \coordinate (2) at (-1.25,-0.5); \coordinate (3) at (-0.5,-0.5);
\fill (p) circle(0.025)node[above]{$P^t$} (e) circle(0.025)node[above]{$E^t$} (e') circle(0.025)node[below]{$E^{t+1}$};
\fill (1) circle(0.025) (2) circle(0.025) (3) circle(0.025);
\draw (e) --node[right]{$r$} (e') (p) --node[right]{$1$} (3) (p) --node[pos=0.7,right]{$r$} (2);
\draw[dashed] ($(p)+(0,0.2)$) --node[left,pos=0.6]{$a = r \sin \theta$} ($(1)-(0,0.2)$);
\draw[decorate,decoration={brace,mirror}] (1) --node[below]{$-r \cos \theta$} (2);
\draw[decorate,decoration={brace,mirror}] (2) --node[below]{$d^t-d^{t+1}$} (3);
\draw[decorate,decoration={brace,mirror}] ([yshift=-7]1) --node[below]{$b$} ([yshift=-7]3);
\begin{scope}
\clip(p) -- (2) -- (-2.25,-0.5) -- (-2.25,0.5) -- cycle;
\draw (p) circle(0.25);
\node at ($(p)+(225:0.3)$) {$\theta$};
\end{scope}
\begin{scope}
\clip(e) -- (e') -- (3) -- (p) -- cycle;
\draw (e) circle(0.25);
\node at ($(e)+(225:0.3)$) {$\theta$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}\end{center}
Falls $\theta \le \frac{\pi}{2}$ gilt $r \cos \theta \ge 0$ und damit folgt $d^t - d^{t+1} \ge 0$. Im Fall $\theta > \frac{\pi}{2}$ gilt $r \cos \theta = -r \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ und damit folgt dann
\begin{align*}
d^t - d^{t+1} = \sqrt{1 - r \sin^2 \theta} - r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \overset{r \le 1}{\ge} (1 - r) \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \ge 0.
\end{align*}
Es bezeichne $v_k := \normVek{P_K^0 - E^0}$ den Einheitsvektor in Richtung $\overline{E^0P_k^0}$.
\marginnote{\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=0.4]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(4,4)}
\coordinate (e) at (0,0);
\fill (e) circle (0.15) node[below left]{$E$};
\coordinate (z1) at (250:3); \coordinate (z2) at (310:2.5); \coordinate (z3) at (20:3.25); \coordinate (z4) at (110:2.5); \coordinate (z5) at (175:3);
\foreach \i in {1,2,3,4,5}{
\draw[->] (e) -- ($(e)!1.5cm!(z\i)$);
\draw[dotted] ($(e)!1.5cm!(z\i)$) -- (z\i);
\fill (z\i)circle(0.05);
}
\path (e) --node[above]{$v_k$} ($(e)!1.5cm!(z3)$) (z3)node[right]{$P_k$};
\end{tikzpicture}}
Da $E \in \convo(P_1, \ldots, P_N)$ gilt, existiert ein $\epsilon > 0$ mit der Sph"are $\B_\epsilon \subseteq \convo(v_1, \ldots, v_N)$.
Ohne Einschr"ankung kann man annehmen, dass die $v_1, \ldots, v_{n+1}$ in allgemeiner Lage sind und dass $\B_\epsilon(0) \subseteq \convo(v_1, \ldots, v_{n+1})$, sowie $E = 0$ ist.
F"ur ein $v \in \S^{n-1}$ existieren $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1} \in (0,1)$ mit $\epsilon v = \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k v_k$ und es folgt
\begin{align*}
\epsilon = \epsilon \|v\|^2 = \langle v, \epsilon v \rangle = \sum \lambda_k \langle v, v_k \rangle.
\end{align*}
man findet also ein $k$, so dass $\langle v, v_k \rangle \ge \frac{\epsilon}{n+1} = d_{\min} > 0$ gilt.
Es seien $v = \normVek{E^{t+1} - E^t}$ und $k = k(v)$ wie oben. Dann gilt $\cos \theta_k^t = \langle v, v_k \rangle \ge d_{\min}$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize,scale=1]
%\tikzgitter{(-4,-4)}{(5,4)}
\draw[->] (0,0) --coordinate[pos=0.7](1) node[above,pos=0.3]{$r$} +(20:3) node[below,pos=0.9]{$v$};
\draw[->] (0,0) --coordinate[pos=1.5] (2) +(350:3) node[below,pos=0.9]{$v_k$};
\draw[dashed] (350:3) -- (2);